Среднее значение признака. Средние величины, их сущность и их виды

Понятие вариационного ряда. Первым шагом систематизации материалов статистического наблюдения является подсчет числа единиц, обладающих тем или иным признаком. Расположив единицы в порядке возрастания или убывания их количественного признака и подсчитав число единиц с конкретным значением признака, получаем вариационный ряд. Вариационный ряд характеризует распределение единиц определенной статистической совокупности по какому–либо количественному признаку.

Вариационный ряд представляет собой две колонки, в левой колонке приводятся значения варьирующего признака, именуемые вариантами и обозначаемые (x), а в правой – абсолютные числа, показывающие, сколько раз встречается каждый вариант. Показатели этой колонки называются частотами и обозначаются (f).

Схематично вариационный ряд можно представить в виде табл.5.1:

Таблица 5.1

Вид вариационного ряда

Варианты (x)	Частоты (f)

В правой колонке могут использоваться и относительные показатели, характеризующие долю частоты отдельных вариантов в общей сумме частот. Эти относительные показатели именуют частостями и условно обозначают через , т.е. . Сумма всех частостей равна единице. Частости могут быть выражены и в процентах, и тогда их сумма будет равна 100%.

Варьирующие признаки могут носить разный характер. Варианты одних признаков выражаются в целых числах, например, число комнат в квартире, число изданных книг и т.д. Эти признаки именуют прерывными, или дискретными. Варианты других признаков могут принимать любые значения в определенных пределах, как, например, выполнение плановых заданий, заработная плата и др. Эти признаки называют непрерывными.

Дискретный вариационный ряд. Если варианты вариационного ряда выражены в виде дискретных величин, то такой вариационный ряд называют дискретным, его внешний вид представлен в табл. 5.2:

Таблица 5.2

Распределение студентов по оценкам, полученным на экзамене

Оценки (х)	Количество студентов (f)	В % к итогу ()

Характер распределения в дискретных рядах изображается графически в виде полигона распределения, рис.5.1.

Рис. 5.1. Распределение студентов по оценкам, полученным на экзамене.

Интервальный вариационный ряд. Для непрерывных признаков вариационные ряды строятся интервальные, т.е. значения признака в них выражаются в виде интервалов «от и до». При этом минимальное значение признака в таком интервале именуют нижней границей интервала, а максимальное – верхней границей интервала.

Интервальные вариационные ряды строят как для прерывных признаков (дискретных), так и для варьирующих в большом диапазоне. Интервальные ряды могут быть с равными и неравными интервалами. В экономической практике в большинстве своем применяются неравные интервалы, прогрессивно возрастающие или убывающие. Такая необходимость возникает особенно в тех случаях, когда колеблемость признака осуществляется неравномерно и в больших пределах.

Рассмотрим вид интервального ряда с равными интервалами, табл. 5.3:

Таблица 5.3

Распределение рабочих по выработке

Выработка, т.р. (х)	Число рабочих (f)	Кумулятивная частота (f´)

Интервальный ряд распределения графически изображается в виде гистограммы, рис.5.2.

Рис.5.2. Распределение рабочих по выработке

Накопленная (кумулятивная) частота. В практике возникает потребность в преобразовании рядов распределения в кумулятивные ряды, строящиеся по накопленным частотам. С их помощью можно определить структурные средние, которые облегчают анализ данных ряда распределения.

Накопленные частоты определяются путем последовательного прибавления к частотам (или частостям) первой группы этих показателей последующих групп ряда распределения. Для иллюстрации рядов распределения используются кумуляты и огивы. Для их построения на оси абсцисс отмечаются значения дискретного признака (или концы интервалов), а на оси ординат – нарастающие итоги частот (кумулята), рис.5.3.

Рис. 5.3. Кумулята распределения рабочих по выработке

Если шкалы частот и вариантов поменять местами, т.е. на оси абсцисс отражать накопленные частоты, а на оси ординат – значения вариантов, то кривая, характеризующая изменение частот от группы к группе, будет носит название огивы распределения, рис.5.4.

Рис. 5.4. Огива распределения рабочих по выработке

Вариационные ряды с равными интервалами обеспечивают одно из важнейших требований, предъявляемых к статистическим рядам распределения, обеспечение сравнимости их во времени и пространстве.

Плотность распределения. Однако частоты отдельных неравных интервалов в названных рядах непосредственно не сопоставимы. В подобных случаях для обеспечения необходимой сравнимости исчисляют плотность распределения, т.е. определяют, сколько единиц в каждой группе приходится на единицу величины интервала.

При построении графика распределения вариационного ряда с неравными интервалами высоту прямоугольников определяют пропорционально не частотам, а показателям плотности распределения значений изучаемого признака в соответствующих интервалах.

Составление вариационного ряда и его графическое изображение является первым шагом обработки исходных данных и первой ступенью анализа изучаемой совокупности. Следующим шагом в анализе вариационных рядов является определение основных обобщающих показателей, именуемых характеристиками ряда. Эти характеристики должны дать представление о среднем значении признака у единиц совокупности.

Средняя величина . Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику изучаемого признака в исследуемой совокупности, отражающая ее типический уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Перед вычислением средних величин необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, а для каждой группы – групповыми средними.

Существуют две разновидности средних величин: степенные (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая); структурные (мода, медиана, квартили, децили).

Выбор средней для расчета зависит от цели.

Виды степенных средних и методы их расчета. В практике статистической обработки собранного материала возникают различные задачи, для решения которых требуются различные средние.

Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

где средняя величина; x – отдельные варианты (значения признаков); z – показатель степени (при z = 1 – средняя арифметическая, z = 0 средняя геометрическая, z = - 1 – средняя гармоническая, z = 2 – средняя квадратическая).

Однако вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в каждом отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности.

Наиболее часто встречающимся в статистике видом средних величин является средняя арифметическая . Она исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется различными способами:

Если данные несгруппированные, то расчет ведется по формуле простой средней величины

Расчет средней арифметической в дискретном ряду происходит по формуле 3.4.

Расчет средней арифметической в интервальном ряду. В интервальном вариационном ряду, где за величину признака в каждой группе условно принимается середина интервала, средняя арифметическая может отличаться от средней, рассчитанной по несгруппированным данным. Причем, чем больше величина интервала в группах, тем больше возможные отклонения средней, вычисленной по сгруппированным данным, от средней, рассчитанной по несгруппированным данным.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. А затем рассчитывают среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной.

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые позволяют упрощать вычисления, рассмотрим их.

1. Средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому постоянному числу.

Если х = а. Тогда .

2. Если веса всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая нового ряда от этого не изменится.

Если все веса f уменьшить в k раз, то .

3. Сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней, умноженных на веса, равна нулю, т.е.

Если , то . Отсюда .

Если все варианты уменьшить или увеличить на какое- либо число, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

Уменьшим все варианты x на a , т.е. x ´ = x – a.

Тогда

Среднюю арифметическую первоначального ряда можно получить, прибавляя к уменьшенной средней ранее вычтенное из вариантов числа a , т.е. .

5. Если все варианты уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится во столько же, т.е. в k раз.

Пусть , тогда .

Отсюда , т.е. для получения средней первоначального ряда среднюю арифметическую нового ряда (с уменьшенными вариантами) надо увеличить в k раз.

Средняя гармоническая. Средняя гармоническая это величина обратная средней арифметической. Ее используют, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение (М= xf). Средняя гармоническая будет рассчитываться по формуле 3.5

Практическое применение средней гармонической – для расчета некоторых индексов, в частности, индекса цен.

Средняя геометрическая. При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака. Например, страховая компания заключает договоры на оказание услуг автострахования. В зависимости конкретного страхового случая страховая выплата может колебаться от 10000 до 100000 долл. в год. Средняя сумма выплат по страховке составит долл.

Средняя геометрическая это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии, когда z = 0. Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел.

Формулы для расчета следующие

где – варианты осредняемого признака; – произведение вариантов; f – частота вариантов.

Средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста.

Средняя квадратическая. Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

Средняя квадратическая величина рассчитывается по формуле

В экономических исследованиях средняя квадратическая в измененном виде широко используется при расчете показателей вариации признака, таких как дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Правило мажорантности. Между степенными средними существует следующая зависимость – чем больше показатель степени, тем больше значение средней, табл.5.4:

Таблица 5.4

Соотношение между средними величинами

Значение z
Соотношение между средними

Это соотношение называется правилом мажорантности.

Структурные средние величины. Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода, медиана, квартили и децили.

Мода. Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. Модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (при определении размеров одежды и обуви, которые пользуются широким спросом), регистрации цен. Мод в совокупности может быть несколько.

Расчет моды в дискретном ряду. В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. Рассмотрим нахождение моды в дискретном ряду.

Расчет моды в интервальном ряду. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой. Для интервального ряда мода будет определяться формулой

где – нижняя граница модального интервала; – величина модального интервала; – частота, соответствующая модальному интервалу; – частота, предшествующая модальному интервалу; – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана. Медианой () называется значение признака у средней единицы ранжированного ряда. Ранжированный ряд – это ряд, у которого значения признака записаны в порядке возрастания или убывания. Или медиана это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значение варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Чтобы найти медиану, сначала определяется ее порядковый номер. Для этого при нечетном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица и все делится на два. При четном числе единиц медиана отыскивается как значение признака у единицы, порядковый номер который определяется по общей сумме частот, деленной на два. Зная порядковый номер медианы, легко по накопленным частотам найти ее значение.

Расчет медианы в дискретном ряду. По данным выборочного обследования получены данные о распределении семей по числу детей, табл. 5.5. Для определения медианы сначала определим ее порядковый номер

В этих семьях количество детей равно 2, следовательно, = 2. Таким образом, в 50% семей число детей не превышает 2.

–частота накопленная, предшествующая медианному интервалу;

С одной стороны, это весьма положительное свойство т.к. в этом случае учитывается действие всех причин, воздействующих на все единицы изучаемой совокупности. С другой стороны, даже одно наблюдение, попавшее в исходные данные случайно, может существенным образом исказить представление об уровне развития изучаемого признака в рассматриваемой совокупности (особенно в коротких рядах).

Квартили и децили. По аналогии с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, в частности, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на 4 равные части, на 10 и т.п.

Квартили. Варианты, которые делят ранжированный ряд на четыре равные части, называют квартилями.

При этом различают: нижний (или первый) квартиль (Q1) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в соотношении ¼ к ¾ и верхний (или третий) квартиль(Q3) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящий совокупность в соотношении ¾ к ¼.

– частоты квартильных интервалов (нижнего и верхнего)

Интервалы, в которых содержатся Q1 и Q3 определяют по накопленным частотам (или частостям).

Децили. Кроме квартилей рассчитывают децили – варианты, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей.

Обозначаются они через D, первый дециль D1 делит ряд в соотношении 1/10 и 9/10, второй D2 – 2/10 и 8/10 и т.д. Вычисляются они по той же схеме, что и медиана и квартили.

И медиана, и квартили, и децили принадлежат к так называемым порядковым статистикам, под которым понимают вариант, занимающий определенное порядковое место в ранжированном ряду.

Информатика и математика - Теоретические материалы для первого коллоквиума

1. Предмет математической статистики, её основные разделы. Понятие о статистическом распределении. Нормальное распределение. В каких условиях случайная величина распределена нормально?

Статистика – наука, узучающая совокупн. масс. явл-я с целью выявления закономерн. и изуч-я их с помощью обобщенных показателей.

Все методы математической статистики можно отнести к двум основным ее разделам: теории статистического оценивания параметров и теории проверки статистических гипотез .

Разделы :

1. дескриптивная статистика

2. выборочный метод, доверительные интервалы

3. корреляционный анализ

4. регрессионный анализ

5. анализ качественных признаков

6. многомерный статистический анализ:

а) кластерный

б) факторный

7. анализ временных рядов

8. дифференциальные уравнения

9. математическое моделирование исторических процессов

Распределение:

Теоретическое (бесконечно много объектов и они ведут себя идеально)

Эмпирическое (реальные данные, которые можно выстроить в гистограмму)

Нормальное распределение – когда характер распределения влияют много факторов, и ни один из них не является определяющим. Особенно часто используется на практике.

2. Нормальное распределение можно изобразить графически в виде симметричной одновершинной кривой, напоминающей по форме колокол. Высота (ордината) каждой точки этой кривой показывает, как часто встречается соответствующее значение. Дескриптивная статистика. Средние значения - среднее арифметическое, медиана, мода. В каких ситуациях эти три меры дают близкие значения, а в каких они сильно различаются?

Дескриптивная статистика - Это описательная статистика.

среднее арифметическое, медиана, мода – меры среднего – коэф-ты, которые могут охарактеризовать совокупность объектов

· среднее (арифметическое) значение ‑ сумма всех значений, отнесенная к общему числу наблюдений (принятые обозначения: Mean или ), т.е. средним арифметическим значением признака называется величина

где - значение признака у i -го объекта, n - число объектов в совокупности.

· мода – наиболее часто встречающееся значение переменной (M)

· медиана – среднее по порядку значение (принятые обозначения: Median, m). Медиана - это "серединное" значение признака в том смысле, что у половины объектов совокупности значения этого признака меньше, а у другой половины - больше медианы. Приближенно вычислить медиану можно, упорядочив все значения признака по возрастанию (убыванию) и найдя число в этом вариационном ряду, которое либо имеет номер (n +1)/2 - в случае нечетного n , либо находится посередине между числами с номерами n /2 и (n +1)/2 - в случае четного n .

Не все из перечисленных характеристик можно вычислять для качественных признаков. Если признак качественный и номинальный, то для него можно найти только моду (ее значением будет название наиболее часто встречающейся категории номинального признака). Если признак ранговый, то кроме моды для него можно найти еще и медиану. Среднее арифметическое значение можно вычислять только для количественных признаков.

В случае количественных данных все характеристики среднего уровня измеряются в тех же единицах, что и сам исходный признак.

Значения коэф-тов совпадают, если график распределения симметричен.

3. Показатели неоднородности - дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, коэффициент вариации. В каких единицах они измеряются? Зачем вводится понятие коэффициента вариации?

· среднее квадратическое или стандартное отклонение ‑ мера разброса значений признака около среднего арифметического значения (принятые обозначения: Std.Dev. (standard deviation ), s или s). Величина этого отклонения вычисляется по формуле

.

· дисперсия признака (s 2 или s 2 )

· коэффициент вариации ‑ отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах (обозначается в статистике буквой V ). Коэффициент вычисляется по формуле: .

Все эти меры можно вычислять только для количественных признаков. Все они показывают, насколько сильно варьируют значения признака (а точнее - их отклонения от среднего) в данной совокупности. Чем меньше значение меры разброса, тем ближе значения признака у всех объектов к своему среднему значению, а значит, и друг к другу. Если величина меры разброса равна нулю, значения признака у всех объектов одинаковы.

Наиболее часто используется среднее квадратическое (или стандартное) отклонение s. Оно измеряется, как и среднее арифметическое, в тех же единицах, что и сам исходный признак. При изменении всех значений признака в несколько раз, точно так же изменится и стандартное отклонение, однако если все значения признака увеличить (уменьшить) на некоторую величину, его стандартное отклонение не изменится . Наряду со стандартным отклонением часто пользуются дисперсией (=его квадрату), однако на практике она является менее удобной мерой, т.к. единицы измерения дисперсии не соответствуют единицам измерения.

Смысл коэффициента вариации состоит в том, что он, в отличие от s, измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности.

Чем больше V , тем совокупность менее однородна.

Однородная Переходная Неоднородная

V =0 – 30% V =30 – 50% V =50 – 100%

Может быть »100% (слишком неоднородная совокупность).

4. Понятие о выборочном методе. Репрезентативная выборка, методы её формированияю Два вида ошибок выборки. Доверительная вероятность.

Выборка:

Репрезентативная

Случайная

Механическая выборка – сходна со случайной выборкой (кажд. 10й, 20й и т.п.).

Естественная(то, что осталось от ГС с течением времени) выборки.

Репрезентативная выборка – точно отражает свойства генеральной совокупности.

Чтобы выборка правильно отражала основные свойства, присущие генеральной совокупности, она должна быть случайной , т.е. все объекты генеральной совокупности должны иметь равные шансы попасть в выборку

Выборки формируются с помощью спец. методик. Наиболее простым является случайный отбор, например, при помощи обычной жеребьевки (для небольших совокупностей) или с использованием таблиц случайных чисел. Для более обширных, но достаточно однородных совокупностей используется механический отбор (применявшийся еще в земской статистике). Для неоднородных совокупностей с определенной структурой чаще применяется типический отбор. Существуют и другие методы, в том числе - комбинации разных способов отбора на нескольких этапах построения выборочной совокупности.

В выборочных результатах всегда присутствуют ошибки. Эти ошибки можно разделить на два класса: случайные и систематические. К первым относятся случайные отклонения выборочных характеристик от генеральных, обусловленные самой природой выборочного метода. Величина случайной ошибки поддается вычислению (оценке). Систематические ошибки, наоборот, не носят случайного характера; они связаны с отклонением структуры выборки от реальной структуры генеральной совокупности. Систематические ошибки появляются тогда, когда нарушается основное правило случайного отбора - обеспечение для всех объектов равных шансов поапсть в выборку. Ошибки этого рода статистика не умеет оценивать.

Основными источниками систематических ошибок являются: а) неадекватность сформированной выборки задачам исследования; б) незнание характера распределения в генеральной совокупности и, как следствие, нарушение в выборке структуры генеральной совокупности; в) сознательный отбор наиболее удобных и выигрышных элементов генеральной совокупности.

Доверительная вероятность –

5. Доверительная вероятность. Средняя (стандартная) и предельная ошибки выборки. Доверительный интервал для оценки среднего значения в генеральной совокупности. Проверка гипотезы о статистической значимости различия двух выборочных средних.

Доверительный интервал - тот значений рассчитываемого коэф-та, в к-й, мы считаем,должно попасть это значение для ген. Совокуп-ти.

Доверительная вероятность – вероятность того, что значение рассчитываемого коэф-та для ген. Совокупности попадет в доверительный интервал. Чеи больше ДВ, тем больше ДИ.

Неизбежный разброс выборочных средних вокруг генеральной средней (т.е. стандартное отклонение выборочных средних) называется стандартной ошибкой выборки m , которая выражается формулой (s - среднее квадратическое отклонение, n - объем выборки). стандартная ошибка выборки тем меньше, чем меньше величина s (которая характеризует разброс значений признака) и чем больше объем выборки n .

Если выборочный метод используется для работы с неколичественными данными, то роль среднего арифметического значения в совокупности играет доля или частота q признака. Доля вычисляется как отношение числа объектов, обладающих данным признаком (), к числу объектов во всей совокупности: . Роль меры разброса играет величина .

В этом случае стандарная ошибка выборки m вычисляется по формуле:

Точность и надежность оценки параметров генеральной совокупности по выборке находятся в обратной зависимости: чем больше точность (т.е. чем меньше предельная ошибка и чем уже доверительный интервал), тем меньше надежность такой оценки (степень уверенности). И наоборот - чем ниже точность оценки, тем выше ее надежность. Часто доверительный интервал строят для надежности 95%, соответственно предельная ошибка выборки обычно равна удвоенной средней ошибке m ..

Доверительный интервал для оценки среднего значения в генеральной совокупности:

X (г.с.) = x (выб.) +-Δ = x (выб.) +- tμ = X (выб.) +- σ(г.с.)/√ n

Критерий для разности средних значений

Часто возникает задача сравнения двух выборочных средних с целью проверки гипотезы о том, что эти выборки получены из одной и той же генеральной совокупности, а реальные расхождения в значениях выборочных средних объясняются случайностями выборок.

Испытуемую гипотезу можно сформулировать следующим образом: различие между выборочными средними случайно, т.е. генеральные средние в обоих случаях равны. В качестве статистической характеристики снова используется величина t , предсталяющая собой разность выборочных средних, деленную на усредненную стандартную ошибку среднего по обеим выборкам.

Фактическое значение статистической характеристики сравнивается с критическим значением, соответсвующим выбранному уровню значимости. Если фактическое значение больше, чем критическое, испытуемая гипотеза отклоняется, т.е. различие между средними считается значимым (существенным).

7. Корреляционная связь. Линейный коэффициент корреляции, его формула, пределы его значений. Коэффициент детерминации, его содержательный смысл. Понятие о статистической значимости коеффициента корреляции.

Коэффициент корреляции показывает, насколько тесно две переменных связаны между собой .

Коэффициент корреляции r принимает значения в диапазоне от -1 до +1. Если r = 1, то между двумя переменными существует функциональная положительная линейная связь, т.е. на диаграмме рассеяния соответствующие точки лежат на одной прямой с положительным наклоном. Если r = -1, то между двумя переменными существует функциональная отрицательная зависимость. Если r = 0, то рассматриваемые переменные линейно независимы , т.е. на диаграмме рассеяния облако точек "вытянуто по горизонтали".

Уравнение регрессии и коэффициент корреляции целесообразно вычислять лишь в том случае, когда зависимость между переменными может хотя бы приближенно считаться линейной. В противном случае результаты могут быть совершенно неверными, в частности коэффициент корреляции может оказаться близким к нулю при наличии сильной взаимосвязи. В особенности это характерно для случаев, когда зависимость имеет явно нелинейный характер (например, зависимость между переменными приблизительно описывается синусоидой или параболой). Во многих случаях эту проблему можно обойти, преобразовав исходные переменные. Однако, чтобы догадаться о необходимости подобного преобразования, т.е. для того чтобы узнать, что данные могут содержать сложные формы зависимости, их желательно “увидеть”. Именно поэтому исследование взаимосвязей между количественными переменными обычно должно включать просмотр диаграмм рассеяния.

Коэффициенты корреляции можно вычислять и без предварительного построения линии регрессии. В этом случае вопрос о интерпретации признаков как результативных и факторных, т.е. зависимых и независимых, не ставится, а корреляции понимается как согласованность или синхронность одновременного изменения значений признаков при переходе от объекта к объекту.

Если объекты характеризуются целым набором количественных признаков, можно сразу построить т.н. матрицу корреляции, т.е. квадратную таблицу, число строк и столбцов которой равно числу признаков, а на пересечении каждых строки и столбца стоит коэффициент корреляции соответствующей пары признаков.

Коэффициент корреляции не имеет содержательной интерпретации. Однако его квадрат, называемый коэффициентом детерминации (R 2 ), имеет.

коэффициентом детерминации (R 2) – это показатель того, насколько изменения зависимого признака объясняются изменениями независимого. Более точно, это доля дисперсии независимого признака, объясняемая влиянием зависимого .

Если две переменные функционально линейно зависимы (точки на диаграмме рассеяния лежат на одной прямой), то можно сказать, что изменение переменной y полностью объясняется изменением переменной x, а это как раз тот случай, когда коэффициент детерминации равен единице (при этом коэффициент корреляции может быть равен как 1, так и -1). Если две переменные линейно независимы (метод наименьших квадратов дает горизонтальную прямую), то переменная y своими вариациями никоим образом "не обязана" переменной x – в этом случае коэффициент детерминации равен нулю. В промежуточных случаях коэффициент детерминации указывает, какая часть изменений переменной y объясняется изменением переменной x (иногда удобно представлять эту величину в процентах).

8. Парная и множественная линейная регрессия. Коэффициент множественной корреляции. Содержательный смысл коэффициента регрессии, его значимость, понятие о t -статистике. Содержательный смысл коэффициента детерминации R 2.

Регрессионный анализ - Статистический метод, позволяющий строить объясняющие модели на основе взаимодействия признаков.

Самым простым случаем взаимосвязи является парная взаимосвязь , т.е. связь между двумя признаками. При этом предполагается, что взаимосвязь двух переменных носит, как правило, причинный характер т.е. одна из них зависит от другой. Первая (зависимая) называется в регрессионном анализе результирующей, вторая (независимая) - факторной . Следует заметить, что не всегда можно однозначно определить, какая из двух переменных является независимой, а какая - зависимой. Часто связь может рассматриваться как двунаправленная.

Уравнение парной регрессии : y = kx + b .

Чаще всего на зависимую переменную действуют сразу несколько факторов, среди которых трудно выделить единственный или главный Так, к примеру, доход предприятия зависит одновременно от двух факторов производства - числа рабочих и энерговооруженности. Причем оба этих фактора сами не являются независимыми друг от друга.

Уравнение множественной регрессии : y = k 1 · x 1 + k 2 · x 2 + … + b,

где x 1 , x 2 , . . . – независимые переменные, от которых в той или иной степени зависит исследуемая (результирующая) переменная y;

k 1 , k 2 . . . – коэффициенты при соответствующих переменных (коэффициенты регрессии ), показывающие, насколько изменится значение результирующей переменной при изменении отдельной независимой переменной на единицу.

Уравнение множественной регрессии задает регрессионную модель , объясняющую поведение зависимой переменной. Никакая регрессионная модель не в состоянии указать, какая переменная является зависимой (следствием), а какие – независимыми (причинами).

R – множественный коэф. корреляции, измеряет совокупность воздействия независимых признаков, тесноту связи результирующего признака со всей совокупностью независимых признаков, выраженных в %.

Показывает какова доля учтенных признаков в отделении результата, т.е. на сколько % вариация признака у объясняется вариациями учтенных признаков Х1, Х2, Х3.

T -статистика показывает уровень стат. значимости кажд. ккоэф-та регресии, т.е. его устойчивость по отношению к выборке.

T = b / Δb

Статистически значимыми явл-ся t >2. Чем больше коэф-т, тем лучше.

через R ² мы делаем заключение о том, на сколько % учтенные признаки объясняют результат.

9.Методы многомерного статистического анализа. Кластер-анализ. Понятие об иерархическом методе и о методе К-средних. Многомерная классификация с использованием нечетких множеств.

МСА :

Кластерный анализ

Факторный анализ

Многомерное шкалирование

Кластерный анализ – объединение объектов в группу с единой целью (признаков много).

Способы кластерного анализа:

1. иерархический (дерево иерархического анализа):

основная идея иерархического метода заключается в последовательном объединении группируемых объектов - сначала самых близких, а затем все более удаленных друг от друга. Процедура построения классификации состоит из последовательных шагов, на каждом из которых производится объединение двух ближайших групп объектов (кластеров ).

2. метод К-средних .

Требует заранее заданных классов (кластеров). Подчеркивает внутриклассовую дисперсию. основан на гипотезе о наиболее вероятном количестве классов. Задачей метода является построение заданного числа кластеров, которые должны максимально отличаться друг от друга.

Процедура классификации начинается с построения заданного числа кластеров, полученных путем случайной группировки объектов. Каждый кластер должен состоять из максимально "похожих" объектов, причем сами кластеры должны быть максимально "непохожими" друг на друга.

Результаты этого метода позволяют получить центры всех классов (а также и другие параметры дескриптивной статистики) по каждому из исходных признаков, а также увидеть графическое представление о том, насколько и по каким параметрам различаются полученные классы.

Если рез-ты классификаций, полученные разными методами совпадают, то это подтверждает реальн. Сущ-е групп (надежность, достоверность).

10. Методы многомерного статистического анализа. Факторный анализ, цели его использования. Понятие о факторных весах, пределы их значений; доля суммарной дисперсии, объясняемой факторами.

Многомерный статистический анализ. Его цель: построение упрощенного укрупненного ряда объектов.

МСА :

Кластерный анализ

Факторный анализ

Многомерное шкалирование

В основе факторного анализа лежит идея о том, что за сложными взаимосвязями явно заданных признаков стоит относительно более простая структура, отражающая наиболее существенные черты изучаемого явления, а "внешние" признаки являются функциями скрытых общих факторов, определяющих эту структуру.

Цель: переход от большего числа признаков к небольшому числу факторов.

в факторном анализе все величины, входящие в факторную модель, стандартизированы, т.е. являются безразмерными величинами со средним арифметическим значением 0 и средним квадратическим отклонением 1.

Коэффициент взаимосвязи между некоторым признаком и общим фактором, выражающий меру влияния фактора на признак, называется факторной нагрузкой данного признака по данному общему фактору . Это число в интервале от -1 до 1. Чем дальше от 0, тем более сильная связь. Значение факторной нагрузки по некоторому фактору, близкое к нулю, говорит о том, что этот фактор практически на данный признак не влияет.

Значение (мера проявления) фактора у отдельного объекта называется факторным весом объекта по данному фактору. Факторные веса позволяют ранжировать, упорядочить объекты по каждому фактору. Чем больше факторный вес некоторого объекта, тем больше в нем проявляется та сторона явления или та закономерность, которая отражается данным фактором. Факторы являются стандартизованными величинами, не могут быть = нулю. Факторные веса, близкие к нулю, говорят о средней степени проявления фактора, положительные – о том, что эта степень выше средней, отрицательные – о том. что она ниже средней.

Таблица факторных весов имеет n строк по числу объектов и k столбцов по числу общих факторов. Положение объектов на оси каждого фактора показывает, с одной стороны, тот порядок, в котором они ранжированы по этому фактору, а с другой стороны, равномерность или же неравномерность в их расположении, наличие скоплений точек, изображающих объекты, что дает возможность визуально выделять более или менее однородные группы.

11. Виды качественных признаков. Номинальные признаки, примеры из исторических источников. Таблица сопряженности. Коэффициент связи номинальных признаков, пределы его значений.

Номинальные данные представлены категориями, для которых порядок абсолютно не важен. Для них не определен никакой другой способ сравнения, кроме как на буквальное совпадение/несовпадение.

Примеры номинальных переменных:

· Национальность: англичанин, белорус, немец, русский, японец и пр.

· Род занятий: служащий, врач, военный, учитель и т.д.

· Профиль образования: гуманитарное, техническое, медицинское, юридическое и т.д.

Если в случае с уровнем образования мы еще могли сравнивать людей в терминах "лучше-хуже" или "выше-ниже", то теперь мы лишены даже этой возможности; единственный корректный способ сравнения ‑ это говорить, что данные персоналии "все являются историками", или "все не являются юристами".

Таблицы сопряженности

Таблицей сопряженности называется прямоугольная таблица, по строкам которой указываются категории одного признака (например, разные социальные группы), а по столбцам - категории другого (например, партийная принадлежность). Каждый объект совокупности попадает в какую-либо из клеток этой таблицы в соответствии с тем, в какую категорию он попадает по каждому из двух признаков. Таким образом, в клетках таблицы стоят числа, представляющие собой частоты совместной встречаемости категорий двух признаков (число людей, принадлежащих конкретной социальной группе и входящих в определенную партию). В зависимости от характера распределения этих частот внутри таблицы можно судить о том, существует ли связь между признаками. Что означает связь между социальным статусом и партийной принадлежностью? В данном случае о наличии связи свидетельствовало бы наличии определенных политических пристрастий у членов разных социальных групп. Формально говоря, эта связь понимается как более частая (или наоборот, редкая) совместная встречаемость отдельных комбинаций категорий по сравнению с ожидаемой встречаемостью - ситуацией чисто случайного попадания объектов туда (например, более высокая доля крестьян в партии трудовиков, а дворян - в партии кадетов, чем доли этих социальных групп во всей совокупности депутатов Думы).

12. Виды качественных признаков. Ранговые признаки, примеры из исторических источников. В каких пределах находятся значения коэффициента ранговой корреляции? Какие коэффициенты следует использовать для оценки связи рангового и номинального признаков?

качественные (или категориальные) данные делятся на два типа: ранговые и номинальные.

Ранговые данные представлены категориями, для которых можно указать порядок, т.е. категории сравнимы по принципу "больше-меньше" или "лучше-хуже".

Примеры ранговых переменных:

· Оценки на экзаменах имеют явно выраженную ранговую природу и выражаются категориями типа: "отлично", "хорошо", "удовлетворительно" и т.д.

· Уровень образования может быть представлен как набор категорий: "высшее", "среднее" и т.п.

Несомненно, мы можем ввести ранговую шкалу и с ее помощью упорядочить всех людей, для которых мы знаем их уровень образования или балл на экзамене. Однако, верно ли, что оценка "хорошо" на столько же хуже, чем "отлично", насколько оценка "удовлетворительно" хуже, чем "хорошо"? Несмотря на то, что формально, в случае с оценками, можно получить разницу в баллах, вряд ли корректно измерять расстояние от "отличника" до "хорошиста" пользуясь теми же правилами, что для расстояния от Москвы до Петербурга. В случае с уровнем образования особенно отчетливо видно, что простые вычисления невозможны, поскольку не существует единого правила вычитания "среднего" уровня образования из "высшего", даже, если мы присвоим высшему образованию код "3", а среднему – код "2".

Своеобразие качественных данных не означает, что их нельзя анализировать с помощью математических и статистических методов.

Ряд объектов, упорядоченных в соответствии со степенью проявления некоторого свойства, называют ранжированным, каждому числу такого ряда присваивается ранг .

Меры взаимосвязи между парой признаков, каждый из которых ранжирует изучаемую совокупность объектов, называются в статистике коэффициентами ранговой корреляции .

Эти коэффициенты строятся на основе следующих трех свойств:

· если ранжированные ряды по обоим признакам полностью совпадают (т.е. каждый объект занимает одно и то же место в обоих рядах), то коэффициент ранговой корреляции должен быть равен +1, что означает полную положительную корреляцию:

· если объекты в одном ряду расположены в обратном порядке по сравнению со вторым, коэффициент равен -1, что означает полную отрицательную корреляцию;

· в остальных ситуациях значения коэффициента заключены в интервале [-1, +1]; возрастание модуля коэффициента от 0 до 1 характеризует увеличение соответствия между двумя ранжированными рядами.

Указанными свойствами обладают коэффициенты ранговой корреляции Спирмена r и Кедалла t .

Коэффициент Кедалла дает более осторожную оценку корреляции, чем коэффициент Спирмена (числовое значение t всегда меньше, чем r ).

Коэффициенты взаимосвязи качественных признаков

Для оценки связи качественных признаков необходим коэффициент, к-й имел бы определенный максимум в случае максимальной связи и позволял бы сравнивать между собой разные таблицы по силе связи между признаками. В данном случае нам подходит коэффициент Крамера V .

Базируясь на значении критерия хи-квадрат, коэффициент Крамера позволяет измерять силу связи между двумя категоризованными переменными - измерить ее числом, принимающим значения от 0 до 1, т.е. от полного отсутствия связи до максимальной сильной связи. Коэффициент позволяет сравнить зависимости разных признаков, с тем, чтобы выявить более и менее сильные связи.

13. Математическое моделирование исторических процессов и явлений. Определение понятия «модель». Три типа моделей, примеры их использования в исторических исследованиях.

14. Дифференциальные уравнения как основной инструмент построения математических моделей теоретического типа. Их особенности в сравнении с моделями иммитационного и статистического типа. Пример такой модели.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле:

где х 0 – нижняя граница интервала;

h – величина интервала;

fm – частота интервала;

f – число членов ряда;

?m- 1 – сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Понятие вариации и её значение. Основные показатели вариации, их достоинства и значение.

Вариация - колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изу­чаемой совокупности, называют вариантами значений. Недостаточность средней величины для полной характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Наличие вариации обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Эти факторы действуют с неодинаковой силой и в разных направлениях. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации. Задачи статистического изучения вариации: 1) изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности; 2) определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности. В статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых изме­ряется вариация. Исследование вариаций имеет важное значение. Измерение вариаций необходимо при проведении выборочного наблюдения, корреляционном и дисперсионном анализе и т. д. По степени вариации можно судить об однородности совокупности, об устойчивости отдельных значений признаков и типичности средней. На их основе разрабатываются показатели тесноты связи между признаками, показатели оценки точности выборочного наблюдения. Различают вариацию в пространстве и вариацию во времени . Под вариацией в пространстве понимают колеблемость значений признака у единиц совокупности, представляющих отдельные территории. Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные периоды времени. Для изучения вариации в рядах распределения проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда. Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум - самое наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения (fi). Частоты удобно заменять частостями – wi. Частость - относительный показатель частоты, который может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Выражается формулой: Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям колеблемости относят коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации.

Виды дисперсий и правило их сложения. Коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение: экономическое значение и их расчёт.

Показатели вариации

Одних только средних недостаточно для оценки тех или иных явлений, так как средние уравнивают, сглаживают индивидуальные особенности отдельных единиц совокупности, показывают типичный для данных условий уровень варьирующих признаков, и тем самым могут затушевывать различные тенденции в развитии. В этом случае исчисляют показатели вариации ,характеризующие средние отклонения каждой единицы совокупности от среднего значения признака в целом .

Вариация имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.

Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов, описательная характеристика которых представлена в табл. 5.6.

Дисперсия имеет ряд математических свойств, упрощающих технику ее расчета.

1. Если из всех вариант отнять какое-то постоянное число А , то дисперсия от этого не изменится.

2. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число h , то дисперсия уменьшится от этого в h 2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в h раз.

Таблица 5.6.

Показатели вариации

Название показателя	Обозначение и методика расчета	Сущностная храктеристика
по несгруппированным данным	по сгруппированным данным
Размах вариации		Улавливает только крайние отклонения значений признака, но не отражает отклонений от средней всех вариант в ряду. Чем больше размах вариации, тем менее однородна исследуемая совокупность
Среднее линейное отклонение			Представляет собой среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня. Чем меньше среднее линейное отклонение, тем более однородны значения признака изучаемого явления
Дисперсия			Представляет собой средний квадрат отклонений значений признака от его среднего уровня
Среднее квадратическое отклонение		Является абсолютной мерой вариации и зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней вариант и средней, что не позволяет непосредственно сравнивать средние квадратические отклонения вариационных рядов с разными уровнями. Оно выражается в тех именованных числах, в которых выражены варианта и средняя
Коэффициент вариации		Является относительной мерой вариации. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна (типична) средняя

Методика расчета показателя дисперсии упрощенными способами показана на рис. 5.4. Отметим, что способ моментов применим в том случае, если задан интервальный ряд с равными интервалами , а способ разности применяется в любых рядах распределения : дискретных и интервальных с равными и неравными интервалами.

Вариация признака определяется различными факторами, в результате чего различают общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и внутригрупповую дисперсию.

Общая дисперсия (σ 2 ) измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Вместе с тем, благодаря методу группировок можно выделить и измерить вариацию, обусловленную группировочным признаком, и вариацию, возникающую под влиянием неучтенных факторов.

Межгрупповая дисперсия (σ 2 м.гр ) характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака – фактора, положенного в основание группировки.

Рис.5.4. Упрощенные способы расчета дисперсии

,

где k – количество групп, на которые разбита вся совокупность;

m j – количество объектов, наблюдений, включенных в группу j ;

–среднее значение признака по группе j ;

–общее среднее значение признака.

Внутригрупповая дисперсия (σ 2 j,вн.гр ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, возникающую под влиянием неучтенных факторов и независящую от признака фактора, положенного в основание группировки.

, или, на основе метода разностей ,

где x ij – значение i -ой варианты в группе j .

Если в сформированных группах отдельные данные встречаются не один раз, то для расчета внутригрупповой дисперсии используется формула средней арифметической взвешенной.

Среднее значение внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле:

.

Существует закон согласно которому, общая дисперсия, возникающая под воздействием всех факторов, равна сумме дисперсии, возникающей за счет группировочного признака и дисперсии, появляющейся под влиянием всех прочих факторов. Этот закон связывает три вида дисперсии.

Правило сложения дисперсий : .

Правило сложения дисперсии широко применяется при исчислении тесноты связей между признаками (факторным и результативным). Для этого определяют эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирический коэффициент детерминации (η 2) показывает, какая доля всей вариации признака обусловлена признаком, положенным в основание группировки . (η – греческая буква «эта»).

Эмпирическое корреляционное отношение (η ) показывает тесноту связи между признаками - группировочным и результативным.

Оно изменяется в пределах от 0 до 1. Если η = 0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный, если η =1,то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторов равно нулю. Характеристика связи между признаками при соответствующих значениях эмпирического корреляционного отношения приведена в табл. 5.7.

Таблица 5.7

Качественная оценка связи между признаками

1. Понятие и классификация рядов динамики. Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики.

Динамика – процесс развития движения соц.эк. явлений во времени. Для её отображения строят ряды динамики. Ряд динамики представл. Собой ряд расположенных в хронологической последовательности знач. Стат. показателей, характер. развитие явления Анализ рядов динамики позволяет выявить тенденции и закономерности соц.эк развития. Ряд динамики состоит из 2-ух элементов: 1)показатели времени (t) – либо определенные даты, либо отдельные периоды (годы, кварталы и тд.) 2)Уровни ряда (y) – они отображают количественную оценку развития во времени изучаемого явления. Виды рядов динамики : 1. По времени отражаемому в динамич. Рядах они делятся на: -моментальные отображают состояние изучаемых явлений на опр даты (моменты времени) С помощью моментных рядов изучают: численность населения, стоимость осн средств, товар запасы. Уровни мом. Рядов динамики суммировать не имеет смысла, т.к. мож. Возникнуть повторный счет – интервальные – отображают итоги развития изучаемого явления за отдельные периоды (интервалы времени) : ряды динамики произ-ва прод-ции, инвестиций, затраченных средств. Уровни интервального ряда динамики абсолют. Величин мож суммировать, т.к. их можно рассматривать как итог за более длительный период времени. 2. В зависимости от способа выражения уровней ряда динамики различают ряды: - абсолютных величин, - относительных, - средних величин. 3. В зависимости от расстояния м/у уровнями различ. ряды динамики с равностоящими и не равностоящими уровнями во времени. Основ условием для получения правильных выводов при анализе ряда динамики явл-ся сопоставимость его уровней. Условия сопоставимости уров. Ряда динамики. 1)Долж. Быть обеспечена одинаковая полнота охвата различных частей явления. Уровни динамического ряда за отдельные периоды времени долж харка-вать размер явления по одному и тому же кругу, входящий в его состав частей. 2)При определении сравниваемых уровней ряда динамики необх. Использовать единую методологию их расчета. 3)Равенство периодов, за к-рые приводятся данные. 4)Необходимо использовать одинаковые единицы измерения. При харак-ки стоимостных показателей во времени долж. б. устранено влияние изменение цен необх. оценка изучаемого показ-ля в ценах одного периода (в сопоставимых ценах) 5)Исходя из цели исследов-ия данные по тер-риям, границы которые изменились долж. б. пересчитаны в старых пределах. Для приведения уровней ряда дин-ки к сопоставимому виду использ. Прием, который наз-ся Смыкание рядов динамики. Смыкание- объединение в один ряд двух или нескольких рядов динам., уровни которых исчислены по разной методике или разными территориальными границами. Чтобы произвести смыкание рядов необх, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, рассчитанные по разной методике или в разных границах.

Показатели интенсивности изменения уровня ряда динамики. Цепной и базисный способы расчёта.

Для качественной оценки динамики, изучаемых явлений применяется ряд стат. показателей получаемых в результате сравнения уровней м/у собой. При этом сравниваемый уров. Наз-ся отчетный, а уров., с которым происх. Сравнение базисным. К основ. показателям динамики относятся абсолют. Прирост, темп роста, темп прироста, абсолют. Значение одного % прироста. В зависимости от применяемого способа сопоставления показатели динамики мог. вычисляться с постоянной и переменной базой сравнения y 1← y 2← y 3← y 4← y 5 Абсолютный прирост характ. размер увеличения или уменьшения уровня ряда динамики за определенный период времени и определ-ся как разность м/у 2-мя уровнями ряда. ∆y ц = y i – y i - 1 ∆ y б = y i – y 0 м/у цепным и базисными абсолютными приростами сущ-ет взаимосвязь: сумма ценных абсол-ых приростов равна базисному абсол-му приросту последнего периода ряда динамики. ∑∆y ц = ∆ y бп Темп роста характеризует интенсивность изменения уравнения ряда и показывает во сколько раз уров. текущего периода больше или меньше уровня предыдущего (базисного) периода или сколько % он составляет по отношению к предыдущему периоду Трц = y i /y i-1 * 100% Трб = y i /y 0 * 100% м/у цепными и базис темпами роста имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста последнего периода ряда динамики. П Крц = Крб Темп прироста показывает на сколько % - ов уров. данного периода больше или меньше уровня принятого за базу сравнения: Он мож б рассчитан 2 способами: а) как отношение абсол.-го прироста к уровню, принятому за базу сравнения Тпрц = ∆ y i / y i-1 * 100% Тпрб = ∆ y i / y 0 * 100% б) как разность м/у темпом роста и 100%-ми Тпр = Тр – 100% Абсолютное значение 1% присрота показывает какая абсло-ая величина содержится в относ-ном показателе – одном % прироста. Это отношение абсло-ого прироста к темпу прироста, выраженному в %-ах. Данный показатель рассчитывается по цепным данным А % =∆ y i / Тпр % = ∆ y i / (∆ y i / y i-1)*100 = y i-1 / 100 Для получения обобщающих показателей динамики соц.эк. явлений определяют средние величины: ср уровень ряда, сред абсол-ый прирост, след темп роста, сред темп прироста. Средний уровень ряда динамики дает общую характ-ку уровня явлен. За весь период. Методы его расчета зависят от вида ряда динамики. а) для моментных рядов для ровно стоящими расчит сред. уров. ряда осущ-ся по форм. средней хронологич-кой. y` = (½ y 1 + y 2 + y 3 + ….½y n)/n-1 n – число уровней ряда. б)для моментных рядов с не равностоящими уров-ми предварительно находятся значения уровней в серединах интервалов y` 1 = y 1 + y 2 /2 ; y 2 = y 2 + y 3 /2,……..,y` n = y n-1 + y n /2 Затем определяется общий сред уров. ряда по формуле средней арифм-ой взвешенной: y` = ∑y` i * t i / ∑t i y` I – сред уровни в интервалах м/у датами, ti – длительность интервала времени м/у уровнями. в) Для интервальных рядов с равностоящими уровн-ми во времени, сред уров расситыв-ся по формуле средней арифм-кой простой y` = ∑ y i /n Средний абсолютгый прирост показывает на сколько в среднем за единицу времени увеличивается (уменьшается) уровень ряда. ∆ y i = ∑ y iц / n-1 или ∆ y i = y n – y 1 /n-1

y1 – начальный уровень ряда динамики yn – конечный уровень ряда динамики. Средний темп роста показывает во сколько раз в среднем за единицу времени изменился уровень ряда динамик. Он опред-ся по форм. средней геометрической из цепных коэф-тов роста. Т`р = n – 1 √К ц р 1 * К ц р 2 *……*К ц р n – 1 = n – 1 √ ПКр ц = n -1 √Крб = n – 1 √ y n /y 1 * x 100%

Средний темп прироста показ-ет на сколько % в среднем за единицу времени увеличился (уменьшился) уровень ряда Т`пр = Т` - 100%.

Средние показатели ряда динамики, их расчёт.

Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность n меняющихся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Такие обобщенные (средние) показатели особенно необходимы при сравнении изменений того или иного показателя в разные периоды, в разных странах и т.д.

Обобщенной характеристикой ряда динамики может служить прежде всего средний уровень ряда . Способ расчета среднего уровня зависит от того, моментный ряд или интервальный (периодный).

В случае интервального ряда его средний уровень определяется по формуле простой средней арифметической величины из уровней ряда, т.е.

Если имеетсямоментный ряд, содержащий n уровней (y1, y2, …, yn ) с равными промежутками между датами (моментами времени), то такой ряд легко преобразовать в ряд средних величин. При этом показатель (уровень) на начало каждого периода одновременно является показателем на конец предыдущего периода. Тогда средняя величина показателя для каждого периода (промежутка между датами) может быть рассчитана как полусумма значений у на начало и конец периода, т.е. как . Количество таких средних будет. Как указывалось ранее, для рядов средних величин средний уровень рассчитывается по средней арифметической. Следовательно, можно записать. После преобразования числителя получаем,

где Y1 и Yn - первый и последний уровни ряда; Yi - промежуточные уровни.

Эта средняя известна в статистике каксредняя хронологическая для моментных рядов. Такое название она получила от слова «cronos» (время, лат.), так как рассчитывается из меняющихся во времени показателей.

В случае неравных промежутков между датами среднюю хронологическую для моментного ряда можно рассчитать как среднюю арифметическую из средних значений уровней на каждую пару моментов, взвешенных по величине расстояний (отрезков времени) между датами, т.е. . В данном случае предполагается, что в промежутках между датами уровни принмали разные значения, и мы из двух известных (yi и yi+1 ) определяем средние, из которых затем уже рассчитываем общую среднюю для всего анализируемого периода. Если же предполагается, что каждое значение yi остается неизменным до следующего (i+ 1)- го момента, т.е. известна точная дата изменения уровней, то расчет можно осуществлять по формуле средней арифметической взвешенной: ,

где – время, в течение которого уровеньоставался неизменным.

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели – среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения .

Базисное среднее абсолютное изменение представляет собой частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений. То есть

Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда представляет собой частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений, то есть

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.

Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными.

Наряду со средними абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное тоже базисным и цепным способами.

Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле

Цепное среднее относительное изменение определяется по формуле

Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Вычитанием 1 из базисного или цепного среднего относительного изменения образуется соответствующий среднийтемп изменения , по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики.

Методы анализа основной тенденции в рядах динамики.

Измените уровней ряда динамики обуславливается на изучаемое явление определяющее влияние и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд) Воздействие факторов действующих периодически вызывает повторяемые во времени колебания уровней ряда динамики. Действие разовых факторов отображается случайными (кратковременных) изменениями уровней ряда дин-ки. Т.т ряд дин-ки вкл след основ. компоненты: 1)основ тенденция (тренд) 2)циклические (периодические колебания) 3)Случайные колебания Основной тенденцией развития (трендом) наз-ся плавное и устойчивое изменения уровня явлений во времени свободное от случ. Колебний. Выявление основ тенденции изменения уровней ряда предполагает её количественное выражение в некоторой мере свободное от случайных воздействий. Для выявления тренда испо-ся различные способы сглаживания (выравнивания ряда) : 1)Метод укрепления интервалов – заключ-ся в том что первоначальный ряд динамики преобразуется в ряд более продолжительных периодов (Напр. ряд, содержащий данные в месячном выпуске продукции преобразуется в ряд квартальных данных) 2)Метод скользящей средней. Состоит в том сто исходные уровни ряда заменяются средними величинами, к-рые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Число уровней, поск-ым рассчитываются сред. значение наз-ся интервалом сглаживания, он мож. четным и нечетным. Расчет средних ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением их принятого периода скольжения. 1-ого уровня и включением следующего. Нахождение скользящей средней по четному числу уровней осложняется тем, что средняя мож быть отнесена толь. к середине укрупненного интер-ла. Поэт. для определения сглаженных уровней производится центрирование, т.е. нахождение средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. 3)Аналитическое выравнивание. Суть метода заключается в подборе матем. Функции, к-рая наилучшим образом характеризует исходные уровни ряда динамики. Эмпирические (фактические) уровни ряда динамики заменяют на плавно изменяющиеся теоретические уровни, рассчитанные по какой-либо функц. Зависимости отклонение исходных уровней ряда от уровней, соответ-щих общей тенденции объясняется действием случайных или периодических факторов. Для выравнивания используют след. матем. Функции: а) линейная y t =a 0 +a 1 t

В прошлом уроке, и поняли, что она знает многое, кто не понял, забыл или прошел мимо, может перейти по ссылке и освежить свои знания)). Но в теории статистики есть еще одно очень интересное изречение. В мире есть три вида лжи – ложь, наглая ложь и… СТАТИСТИКА!!!

Совершенно противоречивое утверждение другое – статистика знает все . Но отчасти в нем есть доля правды. Все дело в данных, которые были собраны для обработки.

Но об этом поговорим позже…

Однако вернемся к статистическим категориям. Категории или основные статистические термины важная часть науки. И дело здесь в том, что эти термины регулярно употребляются в процессе обработки и анализа данных. Именно в этом кроется их такая важность для статистической науки.

Статистическая совокупность – это группа социально-экономических объектов или явлений общественной жизни объединенных общей связью, но отличающихся друг от друга отдельными признаками. Это наиболее часто встречающее определение совокупности. Включает в себя ее особенности, и что очень важно и другие статистические категории. Попытаемся упростить или понять, что же такое совокупность на примере.
Совокупность это некоторое объединение элементов или явлений или людей и т.п. Мало того что в совокупности как правило много частей или элементом (всегда больше одного), так еще все они в чем-то похожи. Так вот эта похожесть и есть признак, по которому объединили эти элементы. Общее у элементов одно, и масса других характеристик отличающихся.

Вот небольшой такой пример. На картинке у нас изображены условно люди. Это совокупность людей – по этому признаку их и объединили в совокупность. Однако все мы разные и у нас масса признаков, которые отличают нас друг от друга – пол, возраст, образование, семейное положение, уровень доходов, место жительства и так далее.
Вообще в совокупность можно объединить разные элементы, лишь бы было что изучать:
— совокупность школьников – общее учатся в школе, а различия пол, возраст, класс, место учебы и многое другое;
— совокупность деревьев в лесу – общее это деревья, различия возраст, разновидность дерева, высота и т.п.;
— совокупность предприятий – общее предприятия, различия, отрасль, число работников, объем выпуска, объем прибыли и др.
И таких примеров можно привести огромное количество.

Задание. Предположим на картинке представлена совокупность студентов. Опишите ее, почему она является совокупностью, какие есть признаки у студентов. Нет ли на картинке лишних элементов, не относящихся к данной совокупности?

И последний очень важный термин вариация!
Вариация – это колебания признака статистической совокупности. В статистике говорят – признак колеблется или ВАРЬИРУЕТСЯ.
Вариация признака это основа статистической науке. Не было бы вариации, не было бы статистики. Именно потому что признаки изменяются и происходит их изучении. Если не было бы изменений и отличий и все было одинаковым, то изучать было бы нечего и статистики не было.

А дальше мы перейдем к . Но прежде домашние задания.

Контрольное задание. Приведите примеры двух трех совокупностей, выделите в них единицы совокупности и охарактеризуйте их признаками. Приведите пример статистических показателей и вариации признака.

Доклад – Органы государственной статистики в РФ – функции, задачи, структура. – Федеральная служба государственной статистики — http://www.gks.ru/

Метод группировок позволяет изучить состояние и взаимосвязи экономических явлений, если группы будут охарактеризованы показателями, раскрывающими наиболее существенные стороны изучаемого явления.

При анализе и планировании необходимо опираться не на случайные факты, а на показатели, выражающие основное, типичное, коренное. Такую характеристику дают различные виды средних величин, а также мода и медиана.

Вопрос об однородности совокупности не должен решаться формально по форме ее распределения. Его, как и вопрос о типичной средней, нужно решать, исходя из причин и условий, формирующих совокупность. Однородной является такая совокупность, единицы которой формируются под воздействием общих главных причин и условий, определяющих общий уровень данного признака, характерный для всей совокупности.

Согласно теории типологических группировок, решающее значение в оценке однородности совокупности принадлежит не форме распределения, а размеру вариации и условиям ее формирования. Для качественно однородной совокупности характерна вариация в определенных пределах, после чего начинается новое качество. Вместе с тем к этим границам для оценки качественной однородности совокупности надо подходить с точки зрения существа дела, а не формально, так как одно и то же количество в разных условиях выражает новое качество. Например, при одной и той же численности рабочих предприятия одних отраслей промышленности являются крупными, а других – мелкими.

Для всестороннего и углубленного изучения явлений, для объективной характеристики типов явлений, их взаимоотношений и процессов, обусловленных развитием системы как целого, необходимо сочетать групповые средние с общими средними. Сочетание таких средних и является одним из основных элементов анализа сложных систем. Это сочетание связывает в одно целое два органически дополняющих друг друга статистических метода: метод средних величин и метод группировки. При расчете средней индивидуальные варьирующие по группе значения заменяются одним средним значением. При этом случайные отклонения значения признака по отдельным единицам в сторону увеличения или уменьшения взаимно уравновешиваются и погашают друг друга, а в величине средней проявляется типичный размер признака, свойственный данной группе. Средняя величина служит характеристикой совокупности и в то же время относится к отдельному ее элементу – носителю качественных особенностей явления. Значение средней вполне конкретно, но одновременно и абстрактно; оно получено путем абстрагирования от случайного индивидуального по каждой единице с целью выявления того общего, типичного, что свойственно всем единицам и что формирует данную совокупность. При расчете средней величины численность единиц совокупности должна быть достаточно большой. Величина средней определяется как отношение общего объема явлений к числу единиц совокупности в группе. Для несгруппированных данных это будет средняя арифметическая простая:

а для сгруппированных данных, где каждое значение признака имеет свою частоту, – средняя арифметическая взвешенная:

где X i – значение признака; f i – частота этих значений признака.

Поскольку средняя арифметическая рассчитывается как отношение суммы значений признака к общей численности, она никогда не выходит за пределы этих значений. Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые широко используются в целях упорядочения расчетов.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины всегда равна нулю:

Доказательство. n

Разделив левую и правую часть на

2. Если значения признака (X i) изменить в k раз, то средняя арифметическая также изменится в x раз.

Доказательство.

Среднюю арифметическую из новых значений признака обозначим X, тогда:

Постоянную величину 1/k можно вынести за знак суммы, и тогда получим:

3. Если из всех значений признака X i вычесть или прибавить одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на эту величину.

Доказательство.

Средняя из отклонений значений признака от постоянного числа будет равна:

Точно так же доказывается это и в случае прибавления постоянного числа.

4. Если частоты всех значений признака уменьшить или увеличить в n раз, то средняя не изменится:

При наличии данных об общем объеме и известных значениях признака, но неизвестных частотах для определения среднего показателя используют формулу среднеарифметической взвешенной.

Например, имеются данные о ценах реализации капусты и общей выручке за различные сроки реализации (табл. 1).

Таблица 1.

Цена реализации капусты и общая выручка за различные сроки реализации

Так как средняя цена представляет отношение общей выручки к общему объему реализованной капусты, то вначале следует определить количество реализованной капусты по разным срокам реализации как отношение выручки к цене, а затем уже определить среднюю цену реализованной капусты.

В нашем примере средняя цена будет:

Если рассчитать в данном случае среднюю цену реализации по средней арифметической простой, то получим иной результат, который исказит истинное положение и завысит среднюю цену реализации, так как не будет учтен тот факт, что большая доля в реализации приходится на позднюю капусту с более низкой ценой.

Иногда требуется определить среднюю величину, когда значения признака даются в виде дробных чисел, т. е. обратных целым числам (например, при изучении производительности труда через обратный его показатель, трудоемкость). В таких случаях целесообразно использовать формулу средней гармонической:

Так, среднее время, необходимое для изготовления единицы продукции, есть средняя гармоническая. Если Х 1 = 1/4 часа, Х 2 = 1/2 часа, Х 3 = 1/3 часа, то средняя гармоническая этих чисел есть:

Для расчета средней величины из отношений двух одноименных показателей, например темпов роста, применяется средняя геометрическая, рассчитанная по формуле:

где Х 1 x Х 2 … x … Х 4 – отношение двух одноименных величин, например цепных темпов роста; n – численность совокупности отношений темпов роста.

Рассмотренные средние величины обладают свойством маорантности:

Пусть, например, имеем следующие значения Х (20; 40), тогда рассмотренные ранее виды средних величин будут равны:

При изучении состава совокупности о типичном размере признака можно судить по так называемым структурным средним – моде и медиане.

Модой называется наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. В интервальных вариационных рядах сначала находят модальный интервал. В найденном модальном интервале мода рассчитывается по формуле:

где Х 0 – нижняя граница модального интервала; d – величина интервала; f 1 , f 2 , f 3 – частоты предмодального, модального и послемодаль-ного интервалов.

Значение моды в интервальном ряду довольно просто можно отыскать на основе графика. Для этого в самом высоком столбце гистограммы от границ двух смежных столбцов проводят две линии. Из точки пересечения этих линий опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс и будет модой (рис. 2).

Рис. 2

Для решения практических задач наибольший интерес представляет обычно мода, выраженная в виде интервала, а не дискретным числом. Объясняется это назначением моды, которая должна выявить наиболее распространенные размеры явления.

Средняя – величина, типичная для всех единиц однородной совокупности. Мода – тоже типичная величина, но она определяет непосредственно размер признака, свойственный хотя и значительной части, но все же не всей совокупности. Она имеет большое значение для решения некоторых задач, например для прогнозирования того, какие размеры обуви, одежды должны быть предназначены для массового производства, и т. д.

Медиана – значение признака, находящееся посредине ранжированного ряда. Она указывает на центр распределения единиц совокупности и делит ее на две равные части.

Медиана является лучшей характеристикой центральной тенденции, когда границы крайних интервалов открыты. Медиана является более приемлемой характеристикой уровня распределения и в том случае, если в ряду распределения имеются чрезмерно большие или чрезмерно малые значения, которые оказывают сильное влияние на среднюю величину, а на медиану – нет. Медиана, кроме того, обладает свойством линейного минимума: сумма абсолютных значений отклонений величины признака у всех единиц совокупности от медианы минимальная, т. е.

Это свойство имеет большое значение для решения некоторых практических задач – например, для расчета самого короткого из всех возможных расстояний для разных видов транспорта, для размещения станций техобслуживания таким образом, чтобы расстояние до всех обслуживаемых данной станцией машин было минимальным, и т. п.

При отыскании медианы сначала определяется ее порядковый номер в ряду распределения:

Далее, соответственно порядковому номеру, по накопленным частотам ряда находят саму медиану. В дискретном ряду – без всякого расчета, а в интервальном ряду, зная порядковый номер медианы, по накопленным частотам отыскивается медианный интервал, в котором путем простейшего приема интерполяции определяется уже значение медианы. Расчет медианы осуществляется по формуле:

где Х 0 – нижняя граница медианного интервала; d – величина интервала; f _ 1 – частота, накопленная до медианного интервала; f – частота медианного интервала.

Рассчитаем среднюю величину, моду и медиану на примере интервального распределения. Данные приведены в табл. 2.

Таким образом, в качестве центра распределения могут быть использованы различные показатели: средняя величина, мода и медиана,

и каждая из этих характеристик имеет свои особенности. Так, для средней величины характерно то, что все отклонения от нее отдельных значений признака взаимно погашаются, т. е.

Для медианы характерно то, что сумма отклонений индивидуальных значений признака от нее (без учета знаков) является минимальной. Мода же характеризует наиболее часто встречающееся значение признака. Поэтому в зависимости от того, какая из особенностей интересует исследователя, и должна выбираться одна из рассмотренных характеристик. В отдельных случаях рассчитываются все характеристики.

Их сравнение и выявление соотношений между ними помогает выяснить особенности распределения того или иного вариационного ряда. Так, в симметричных рядах, как в нашем случае, все три характеристики (средняя, мода и медиана) примерно совпадают. Чем больше расхождение между модой и средней величиной, тем более асимметричен ряд. Установлено, что для умеренно асимметричных рядов разность между модой и средней арифметической примерно в три раза превышает разность между медианой и средней арифметической:

Это соотношение можно использовать для определения одного показателя по двум известным. Из этого следует, что сочетание моды, медианы и средней важно и для характеристики типа распределения.