Случайная величина имеет биномиальное распределение. Биноминальное распределение

В отличие от нормального и равномерного распределений, описывающих поведение переменной в исследуемой выборке испытуемых, биномиальное распределение используется для иных целей. Оно служит для прогнозирования вероятности двух взаимоисключающих событий в некотором числе независимых друг от друга испытаний. Классический пример биномиального распределения – подбрасывание монеты, которая падает на твердую поверхность. Равновероятны два исхода (события): 1) монета падает «орлом» (вероятность равна р ) или 2) монета падает «решкой» (вероятность равна q ). Если третьего исхода не дано, то p = q = 0,5 и p + q = 1. Используя формулу биномиального распределения, можно определить, например, какова вероятность того, что в 50 испытаниях (число подбрасываний монеты) последняя выпадет «орлом», предположим, 25 раз.

Для дальнейших рассуждений введем общепринятые обозначения:

n – общее число наблюдений;

i – число интересующих нас событий (исходов);

n – i – число альтернативных событий;

p – эмпирически определенная (иногда – предполагаемая) вероятность интересующего нас события;

q – вероятность альтернативного события;

P n (i ) – прогнозируемая вероятность интересующего нас события i по определенному числу наблюдений n .

Формула биномиального распределения:

В случае равновероятного исхода событий (p = q ) можно использовать упрощенную формулу:

(6.8)

Рассмотрим три примера, иллюстрирующие использование формул биномиального распределения в психологических исследованиях.

Пример 1

Предположим, что 3 студента решают задачу повышенной сложности. Для каждого из них равновероятны 2 исхода: (+) – решение и (-) – нерешение задачи. Всего возможно 8 разных исходов (2 3 = 8).

Вероятность того, что ни один студент не справится с задачей, равна 1/8 (вариант 8); 1 студент справится с задачей: P = 3/8 (варианты 4, 6, 7); 2 студента – P = 3/8 (варианты 2, 3, 5) и 3 студента – P =1/8 (вариант 1).

Необходимо определить вероятность того, что трое из 5 студентов успешно справятся с данной задачей.

Решение

Всего возможных исходов: 2 5 = 32.

Общее число вариантов 3(+) и 2(-) составляет

Следовательно, вероятность ожидаемого исхода равна 10/32 » 0,31.

Пример 3

Задание

Определить вероятность того, что в группе из 10 случайных испытуемых обнаружится 5 экстравертов.

Решение

1. Вводим обозначения: p = q = 0,5; n = 10; i = 5; P 10 (5) = ?

2. Используем упрощенную формулу (см. выше):

Вывод

Вероятность того, что среди 10 случайных испытуемых обнаружится 5 экстравертов, составляет 0,246.

Примечания

1. Вычисление по формуле при достаточно большом числе испытаний достаточно трудоемко, поэтому в этих случаях рекомендуется использовать таблицы биномиального распределения.

2. В некоторых случаях значения p и q можно задать изначально, но не всегда. Как правило, они вычисляются по результатам предварительных испытаний (пилотажных исследований).

3. В графическом изображении (в координатах P n (i ) = f (i )) биномиальное распределение может иметь различный вид: в случае p = q распределение симметрично и напоминает нормальное распределение Гаусса; асимметрия распределения тем больше, чем больше разница между вероятностями p и q .

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона является частным случаем биномиального распределения, используемым при очень низкой вероятности интересующих нас событий. Другими словами, это распределение описывает вероятность редких событий. Формулой Пуассона можно пользоваться при p < 0,01 и q ≥ 0,99.

Уравнение Пуассона является приближенным и описывается следующей формулой:

(6.9)

где μ представляет собой произведение средней вероятности события и числа наблюдений.

В качестве примера рассмотрим алгоритм решения следующей задачи.

Условие задачи

За несколько лет в 21 крупной клинике России было проведено массовое обследование новорожденных на предмет заболевания младенцев болезнью Дауна (выборка в среднем составляла 1000 новорожденных в каждой клинике). Были получены следующие данные:

Задание

1. Определить среднюю вероятность заболевания (в пересчете на число новорожденных).

2. Определить, на какое число новорожденных в среднем приходится одно заболевание.

3. Определить вероятность того, что среди 100 случайно выбранных новорожденных обнаружится 2 младенца с болезнью Дауна.

Решение

1. Определяем среднюю вероятность заболевания. При этом мы должны руководствоваться следующими рассуждениями. Болезнь Дауна зарегистрирована лишь в 10 клиниках из 21. В 11 клиниках заболеваний не обнаружено, в 6 клиниках зарегистрировано по 1 случаю, в 2 клиниках – 2 случая, в 1-й клинике – 3 и в 1-й клинике – 4 случая болезни. 5 случаев заболевания не было обнаружено ни в одной клинике. Для того чтобы определить среднюю вероятность заболевания, необходимо общее число случаев (6·1 + 2·2 + 1·3 + 1·4 = 17) разделить на общее число новорожденных (21000):

2. Число новорожденных, на которое приходится одно заболевание, является величиной обратной средней вероятности, т. е. равно общему числу новорожденных, отнесенному к числу зарегистрированных случаев:

3. Подставляем значения p = 0,00081, n = 100 и i = 2 в формулу Пуассона:

Ответ

Вероятность того, что среди 100 случайно выбранных новорожденных обнаружится 2 младенца с болезнью Дауна, составляет 0,003 (0,3%).

Задачи по теме

Задача 6. 1

Задание

Пользуясь данными задачи 5.1 по времени сенсомоторной реакции, вычислить асимметрию и эксцесс распределения ВР.

Задача 6. 2

200 учащихся выпускных классов были протестированы на уровень интеллектуальности (IQ ). После нормирования полученного распределения IQ по стандартному отклонению были получены следующие результаты:

Задание

Пользуясь критериями Колмогорова и хи-квадрат, определить, соответствует ли полученное распределение показателей IQ нормальному.

Задача 6. 3

У взрослого испытуемого (мужчина 25 лет) исследовалось время простой сенсомоторной реакции (ВР) в ответ на звуковой стимул с постоянной частотой в 1 кГц и интенсивностью 40 дБ. Стимул предъявлялся стократно с интервалами 3 – 5 секунд. Отдельные значения ВР по 100 повторностям распределилось следующим образом:

Задание

1. Построить частотную гистограмму распределения ВР; определить среднее значение ВР и величину стандартного отклонения.

2. Рассчитать коэффициент асимметрии и показатель эксцесса распределения ВР; на основании полученных значений As и Ex сделать вывод о соответствии или несоответствии данного распределения нормальному.

Задача 6. 4

В 1998 году в Нижнем Тагиле окончили школы с золотыми медалями 14 человек (5 юношей и 9 девушек), с серебряными – 26 человек (8 юношей и 18 девушек).

Вопрос

Можно ли утверждать, что девушки получают медали чаще, чем юноши?

Примечание

Соотношение числа юношей и девушек в генеральной совокупности считать равным.

Задача 6. 5

Считается, что число экстравертов и интровертов в однородной группе испытуемых является приблизительно одинаковым.

Задание

Определить вероятность того, что в группе из 10 случайно отобранных испытуемых обнаружится 0, 1, 2, ..., 10 экстравертов. Построить графическое выражение распределения вероятностей обнаружения 0, 1, 2, ..., 10 экстравертов в данной группе.

Задача 6. 6

Задание

Рассчитать вероятность P n (i) функции биномиального распределения при p = 0,3 и q = 0,7 для значений n = 5 и i = 0, 1, 2, ..., 5. Построить графическое выражение зависимости P n (i) = f (i).

Задача 6. 7

В последние годы среди определенной части населения утвердилась вера в астрологические прогнозы. По результатам предварительных опросов установлено, что в астрологию верят около 15% населения.

Задание

Определить вероятность того, что среди 10 случайно выбранных респондентов окажется 1, 2 или 3 человека, верящих в астрологические прогнозы.

Задача 6. 8

Условие задачи

В 42 общеобразовательных школах г. Екатеринбурга и Свердловской области (общее число учащихся 12260 человек) за несколько лет было выявлено следующее число случаев психических заболеваний среди школьников:

Задание

Пусть будет выборочно обследовано 1000 школьников. Рассчитать, какова вероятность того, что среди этой тысячи школьников будет выявлен 1, 2 или 3 психически больных ребенка?

РАЗДЕЛ 7. МЕРЫ РАЗЛИЧИЙ

Постановка проблемы

Предположим, что мы имеем две независимые друг от друга выборки испытуемых х и у . Независимыми выборки считаются тогда, когда один и тот же субъект (испытуемый) фигурирует только в одной выборке. Задача состоит в том, чтобы сравнить между собой эти выборки (два ряда переменных) на предмет их различий. Естественно, что как бы ни были близки между собой значения переменных в первой и второй выборке, какие-то, пусть даже незначительные, различия между ними будут обнаруживаться. С точки же зрения математической статистики нас интересует вопрос, являются ли различия между этими выборками статистически достоверными (статистически значимыми) или недостоверными (случайными).

Наиболее распространенными критериями достоверности различий между выборками являются параметрические меры различий – критерий Стьюдента и критерий Фишера . В ряде случаев используются непараметрические критерии – критерий Q Розенбаума, U-критерий Манна- Уитни и др. Особое место занимает угловое преобразование Фишера φ* , позволяющие сравнивать друг с другом значения, выраженные в процентах (процентных долях). И, наконец, как частный случай, для сравнения выборок могут быть использованы критерии, характеризующие форму распределений выборок – критерий χ 2 Пирсона и критерий λ Колмогорова – Смирнова .

В целях наилучшего усвоения данной темы мы поступим следующим образом. Одну и ту же задачу мы решим четырьмя методами с использованием четырех различных критериев – Розенбаума, Манна-Уитни, Стьюдента и Фишера.

Условие задачи

30 студентов (14 юношей и 16 девушек) во время экзаменационной сессии протестированы по тесту Спилбергера на уровень реактивной тревожности. Получены следующие результаты (табл. 7.1):

Таблица 7.1

Испытуемые

Уровень реактивной тревожности

Юноши

Девушки

Задание

Определить, являются ли статистически достоверными различия уровня реактивной тревожности у юношей и девушек.

Задача представляется вполне типичной для психолога, специализирующегося в области педагогической психологии: кто более остро переживает экзаменационный стресс – юноши или девушки? Если различия между выборками статистически достоверны, то существуют значимые половые различия в данном аспекте; если различия случайны (статистически недостоверны), от данного предположения следует отказаться.

7. 2. Непараметрический критерий Q Розенбаума

Q -критерий Розенбаума основан на сравнении «наложенных» друг на друга ранжированных рядов значений двух независимых переменных. При этом не анализируется характер распределения признака внутри каждого ряда – в данном случае имеет значение лишь ширина неперекрывающихся участков двух ранжированных рядов. При сравнении между собой двух ранжированных рядов переменных возможны 3 варианта:

1. Ранжированные ряды x и y не имеют области перекрытия, т. е. все значения первого ранжированного ряда (x ) больше всех значений второго ранжированного ряда(y ):

В данном случае различия между выборками, определяемые по любому статистическому критерию, безусловно достоверны, и использование критерия Розенбаума не требуется. Тем не менее на практике такой вариант встречается исключительно редко.

2. Ранжированные ряды полностью накладываются друг на друга (как правило, один из рядов находится внутри другого), неперекрывающиеся зоны отсутствуют. В данном случае критерий Розенбаума неприменим.

3. Имеется зона перекрытия рядов, а также две неперекрывающиеся области (N 1 и N 2 ), относящиеся к разным ранжированным рядам (обозначим х – ряд, сдвинутый в сторону больших, y – в сторону меньших значений):

Данный случай является типичным для использования критерия Розенбаума, при использовании которого следует соблюдать следующие условия:

1. Объем каждой выборки должен быть не менее 11.

2. Объемы выборок не должны существенно отличаться друг от друга.

Критерий Q Розенбаума соответствует числу неперекры­вающихся значений: Q = N 1 + N 2 . Вывод о достоверности различий между выборками делается в случае, если Q > Q кр. При этом значения Q кр находятся в специальных таблицах (см. Приложение, табл. VIII).

Вернемся к нашей задаче. Введем обозначения: х – выборка девушек, y – выборка юношей. Для каждой выборки строим ранжированный ряд:

х : 28 30 34 34 35 36 37 39 40 41 42 42 43 44 45 46

y : 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44

Подсчитываем число значений в неперекрывающихся областях ранжированных рядов. В ряду х неперекрывающимися являются значения 45 и 46, т. е. N 1 = 2;в ряду y только 1 неперекрывающееся значение 26, т. е. N 2 = 1. Отсюда, Q = N 1 + N 2 = 1 + 2 = 3.

В табл. VIII Приложения находим, что Q кр . = 7 (для уровня значимости 0,95) и Q кр = 9 (для уровня значимости 0,99).

Вывод

Поскольку Q < Q кр, то по критерию Розенбаума различия между выборками не являются статистически достоверными.

Примечание

Критерий Розенбаума может использоваться независимо от характера распределения переменных, т. е. в данном случае отпадает необходимость использования критериев χ 2 Пирсона и λ Колмогорова для определения типа распределений в обеих выборках.

7. 3. U -критерий Манна – Уитни

В отличие от критерия Розенбаума, U -критерий Манна – Уитни основан на определении зоны перекрытия между двумя ранжированными рядами, т. е. чем меньше зона перекрытия, тем достовернее различия между выборками. Для этого используется специальная процедура преобразования интервальных шкал в ранговые.

Рассмотрим алгоритм вычислений по U -критерию на примере предыдущей задачи.

Таблица 7.2

x, y	R xy	R xy *	R x	R y
26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44		2,5 2,5 5,5 5,5 11,5 11,5 16,5 16,5 18,5 18,5 20,5 20,5 25,5 25,5 27,5 27,5	2,5 11,5 16,5 18,5 20,5 25,5 27,5	1 2,5 5,5 5,5 7 9 11,5 15 16,5 18,5 20,5 23 25,5 27,5
		Σ	276,5	188,5

1. Из двух независимых выборок строим единый ранжированный ряд. В данном случае значения для обеих выборок идут «вперемешку», столбец 1 (x , y ). В целях упрощения дальнейшей работы (в том числе и в компьютерном варианте) следует значения для разных выборок отмечать разным шрифтом (или разным цветом) с учетом того, что в дальнейшем мы будем их разносить по разным столбцам.

2. Преобразуем интервальную шкалу значений в порядковую (для этого переобозначаем все значения ранговыми числами от 1 до 30, столбец 2 (R xy)).

3. Вводим поправки на связанные ранги (одинаковые значения переменной обозначаются одним и тем же рангом при условии, что сумма рангов не изменяется, столбец 3 (R xy *). На этом этапе рекомендуется подсчитать суммы рангов во 2-м и 3-м столбце (если все поправки введены верно, то эти суммы должны быть равны).

4. Разносим ранговые числа в соответствии с их принадлежностью к той или иной выборке (столбцы 4 и 5 (R x и R y)).

5. Проводим вычисления по формуле:

(7.1)

где Т х – наибольшая из ранговых сумм; n x и n y , соответственно, объемы выборок. В данном случае следует иметь в виду, что если T x < T y , то обозначения x и y следует сменить на обратные.

6. Сравниваем полученное значение с табличным (см. Приложения, табл. IX).Вывод о достоверности различий между двумя выборками делается в случае, если U эксп. < U кр. .

В нашем примере U эксп. = 83,5 > U кр. = 71.

Вывод

Различия между двумя выборками по критерию Манна – Уитни не являются статистически достоверными.

Примечания

1. Критерий Манна-Уитни не имеет практически никаких ограничений; минимальные объемы сравниваемых выборок – 2 и 5 человек (см. табл. IX Приложения).

2. Аналогично критерию Розенбаума критерий Манна-Уитни может быть использован применительно к любым выборкам независимо от характера распределения.

Критерий Стьюдента

В отличие от критериев Розенбаума и Манна-Уитни критерий t Стьюдента является параметрическим, т. е. основан на определении основных статистических показателей – средних значений в каждой выборке ( и ) и их дисперсий (s 2 x и s 2 y), рассчитываемых по стандартным формулам (см. раздел 5).

Использование критерия Стьюдента предполагает соблюдение следующих условий:

1. Распределения значений для обеих выборок должны соответствовать закону нормального распределения (см. раздел 6).

2. Суммарный объем выборок должен быть не менее 30 (для β 1 = 0,95) и не менее 100 (для β 2 = 0,99).

3. Объемы двух выборок не должны существенно отличаться друг от друга (не более чем в 1,5 ÷ 2 раза).

Идея критерия Стьюдента достаточно проста. Предположим, что значения переменных в каждой из выборок распределяются по нормальному закону, т. е. мы имеем дело с двумя нормальными распределениями, отличающимися друг от друга по средним значениям и дисперсии (соответственно и , и , см. рис. 7.1).

s x s y

Рис. 7.1. Оценка различий между двумя независимыми выборками: и - средние значения выборок x и y ; s x и s y - стандартные отклонения

Нетрудно понять, что различия между двумя выборками будут тем больше, чем больше разность между средними значениями и чем меньше их дисперсии (или стандартные отклонения).

В случае независимых выборок коэффициент Стьюдента определяют по формуле:

(7.2)

где n x и n y – соответственно численность выборок x и y .

После вычисления коэффициента Стьюдента в таблице стандартных (критических) значений t (см. Приложение, табл. Х) находят величину, соответствующую числу степеней свободы n = n x + n y – 2, и сравнивают ее с рассчитанной по формуле. Если t эксп. £ t кр. , то гипотезу о достоверности различий между выборками отвергают, если же t эксп. > t кр. , то ее принимают. Другими словами, выборки достоверно отличаются друг от друга, если вычисленный по формуле коэффициент Стьюдента больше табличного значения для соответствующего уровня значимости.

В рассмотренной нами ранее задаче вычисление средних значений и дисперсий дает следующие значения: x ср. = 38,5; σ х 2 = 28,40; у ср. = 36,2; σ у 2 = 31,72.

Можно видеть, что среднее значение тревожности в группе девушек выше, чем в группе юношей. Тем не менее эти различия настолько незначительны, что вряд ли они являются статистически значимыми. Разброс значений у юношей, напротив, несколько выше, чем у девушек, но различия между дисперсиями также невелики.

Вывод

t эксп. = 1,14 < t кр. = 2,05 (β 1 = 0,95). Различия между двумя сравниваемыми выборками не являются статистически достоверными. Данный вывод вполне согласуется с таковым, полученным при использовании критериев Розенбаума и Манна-Уитни.

Другой способ определения различий между двумя выборками по критерию Стьюдента состоит в вычислении доверительного интервала стандартных отклонений. Доверительным интервалом называется среднеквадратичное (стандартное) отклонение, деленное на корень квадратный из объема выборки и умноженное на стандартное значение коэффициента Стьюдента для n – 1 степеней свободы (соответственно, и ).

Примечание

Величина = m x называется среднеквадратичной ошибкой (см. раздел 5). Следовательно, доверительный интервал есть среднеквадратичная ошибка, умноженная на коэффициент Стьюдента для данного объема выборки, где число степеней свободы ν = n – 1, и заданного уровня значимости.

Две независимые друг от друга выборки считаются достоверно различающимися, если доверительные интервалы для этих выборок не перекрываются друг с другом. В нашем случае мы имеем для первой выборки 38,5 ± 2,84, для второй 36,2 ± 3,38.

Следовательно, случайные вариации x i лежат в диапазоне 35,66 ¸ 41,34, а вариации y i – в диапазоне 32,82 ¸ 39,58. На основании этого можно констатировать, что различия между выборками x и y статистически недостоверны (диапазоны вариаций перекрываются друг с другом). При этом следует иметь в виду, что ширина зоны перекрытия в данном случае не имеет значения (важен лишь сам факт перекрытия доверительных интервалов).

Метод Стьюдента для зависимых друг от друга выборок (например, для сравнения результатов, полученных при повторном тестировании на одной и той же выборке испытуемых) используют достаточно редко, поскольку для этих целей существуют другие, более информативные статистические приемы (см. раздел 10). Тем не менее, для данной цели в первом приближении можно использовать формулу Стьюдента следующего вида:

(7.3)

Полученный результат сравнивают с табличным значением для n – 1 степеней свободы, где n – число пар значений x и y . Результаты сравнения интерпретируются точно так же, как и в случае вычисления различий между двумя независимыми выборками.

Критерий Фишера

Критерий Фишера (F ) основан на том же принципе, что и критерий Стьюдента, т. е. предполагает вычисление средних значений и дисперсий в сравниваемых выборках. Чаще всего используется при сравнении между собой неравноценных по объему (разных по численности) выборок. Критерий Фишера является несколько более жестким, чем критерий Стьюдента, а потому более предпочтителен в тех случаях, когда возникают сомнения в достоверности различий (например, если по критерию Стьюдента различия достоверны при нулевом и недостоверны при первом уровне значимости).

Формула Фишера выглядит следующим образом:

(7.4)

где и (7.5, 7.6)

В рассматриваемой нами задаче d 2 = 5,29; σ z 2 = 29,94.

Подставляем значения в формулу:

В табл. ХI Приложений находим, что для уровня значимости β 1 = 0,95 и ν = n x + n y – 2 = 28 критическое значение составляет 4,20.

Вывод

F = 1,32 < F кр. = 4,20. Различия между выборками статистически недостоверны.

Примечание

При использовании критерия Фишера должны соблюдаться те же условия, что и для критерия Стьюдента (см. подраздел 7.4). Тем не менее допускается различие в численности выборок более чем в два раза.

Таким образом, при решении одной и той же задачи четырьмя различными методами с использованием двух непараметрических и двух параметрических критериев мы пришли к однозначному выводу о том, что различия между группой девушек и группой юношей по уровню реактивной тревожности недостоверны (т. е. находятся в пределах случайных вариаций). Однако могут встретиться и такие случаи, когда сделать однозначный вывод не представляется возможным: одни критерии дают достоверные, другие – недостоверные различия. В этих случаях приоритет отдается параметрическим критериям (при условии достаточности объема выборок и нормального распределения исследуемых величин).

7. 6. Критерий j* - угловое преобразование Фишера

Критерий j*Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Он оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект. Допускается также сравнение процентных соотношений и в пределах одной выборки.

Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол j , а меньшей доле – меньший угол, но отношения здесь нелинейные:

где Р – процентная доля, выраженная в долях единицы.

При увеличении расхождения между углами j 1 и j 2 и увеличении численности выборок значение критерия возрастает.

Критерий Фишера вычисляется по следующей формуле:

где j 1 – угол, соответствующий большей процентной доле; j 2 – угол, соответствующий меньшей процентной доле; n 1 и n 2 – соответственно, объем первой и второй выборок.

Вычисленное по формуле значение сравнивается со стандартным (j* ст = 1,64 для b 1 = 0,95 и j* ст = 2,31 для b 2 = 0,99. Различия между двумя выборками считаются статистически достоверными, если j*> j* ст для данного уровня значимости.

Пример

Нас интересует, различаются ли между собой две группы студентов по успешности выполнения достаточно сложной задачи. В первой группе из 20 человек с ней справилось 12 студентов, во второй – 10 человек из 25.

Решение

1. Вводим обозначения: n 1 = 20, n 2 = 25.

2. Вычисляем процентные доли Р 1 и Р 2: Р 1 = 12 / 20 = 0,6 (60%), Р 2 = 10 / 25 = 0,4 (40%).

3. В табл. XII Приложений находим соответствующие процентным долям значения φ: j 1 = 1,772, j 2 = 1,369.

Отсюда:

Вывод

Различия между группами не являются статистически достоверными, поскольку j* < j* ст для 1-го и тем более для 2-го уровня значимости.

7.7. Использование критерия χ2 Пирсона и критерия λ Колмогорова

В настоящей и нескольких следующих заметках мы рассмотрим математические модели случайных событий. Математическая модель - это математическое выражение, представляющее случайную величину. Для дискретных случайных величин это математическое выражение известно под названием функция распределения.

Если задача позволяет явно записать математическое выражение, представляющее случайную величину, можно вычислить точную вероятность любого ее значения. В этом случае можно вычислить и перечислить все значения функции распределения. В деловых, социологических и медицинских приложениях встречаются разнообразные распределения случайных величин. Одним из наиболее полезных распределений является биномиальное.

Биномиальное распределение используется для моделирования ситуаций, характеризующихся следующими особенностями.

• Выборка состоит из фиксированного числа элементов n , представляющих собой исходы некоего испытания.
• Каждый элемент выборки принадлежит одной из двух взаимоисключающих категорий, исчерпывающих все выборочное пространство. Как правило, эти две категории называют успех и неудача.
• Вероятность успеха р является постоянной. Следовательно, вероятность неудачи равна 1 – р .
• Исход (т.е. удача или неудача) любого испытания не зависит от результата другого испытания. Чтобы гарантировать независимость исходов, элементы выборки, как правило, получают с помощью двух разных методов. Каждый элемент выборки случайным образом извлекается из бесконечной генеральной совокупности без возвращения или из конечной генеральной совокупности с возвращением.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Биномиальное распределение используется для оценки количества успехов в выборке, состоящей из n наблюдений. Рассмотрим в качестве примера оформление заказов. Чтобы сделать заказ клиенты компании Saxon Company могут воспользоваться интерактивной электронной формой и послать ее в компанию. Затем информационная система проверяет, нет ли в заказах ошибок, а также неполной или недостоверной информации. Любой заказ, вызывающий сомнения, помечается и включается в ежедневный отчет об исключительных ситуациях. Данные, собранные компанией, свидетельствуют, что вероятность ошибок в заказах равна 0,1. Компания хотела бы знать, какова вероятность обнаружить определенное количество ошибочных заказов в заданной выборке. Например, предположим, что клиенты заполнили четыре электронных формы. Какова вероятность, что все заказы окажутся безошибочными? Как вычислить эту вероятность? Под успехом будем понимать ошибку при заполнении формы, а все остальные исходы будем считать неудачей. Напомним, что нас интересует количество ошибочных заказов в заданной выборке.

Какие исходы мы можем наблюдать? Если выборка состоит из четырех заказов, ошибочными могут оказаться один, два, три или все четыре, кроме того, все они могут оказаться правильно заполненными. Может ли случайная величина, описывающая количество неправильно заполненных форм, принимать какое-либо иное значение? Это невозможно, поскольку количество неправильно заполненных форм не может превышать объем выборки n или быть отрицательным. Таким образом, случайная величина, подчиняющаяся биномиальному закону распределения, принимает значения от 0 до n .

Допустим, что в выборке из четырех заказов наблюдаются следующие исходы:

Какова вероятность обнаружить три ошибочных заказа в выборке, состоящей из четырех заказов, причем в указанной последовательности? Поскольку предварительные исследования показали, что вероятность ошибки при заполнении формы равна 0,10, вероятности указанных выше исходов вычисляются следующим образом:

Поскольку исходы не зависят друг от друга, вероятность указанной последовательности исходов равна: р*р*(1–р)*р = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Если же необходимо вычислить количество вариантов выбора X n элементов, следует воспользоваться формулой сочетаний (1):

где n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - факториал числа n , причем 0! = 1 и 1! = 1 по определению.

Это выражение часто обозначают как . Таким образом, если n = 4 и X = 3, количество последовательностей, состоящих из трех элементов, извлеченных из выборки, объем которой равен 4, определяется по следующей формуле:

Следовательно, вероятность обнаружить три ошибочных заказа вычисляется следующим образом:

(Количество возможных последовательностей) *
(вероятность конкретной последовательности) = 4 * 0,0009 = 0,0036

Аналогично можно вычислить вероятность того, что среди четырех заказов окажутся один или два ошибочных, а также вероятность того, что все заказы ошибочны или все верны. Однако при увеличении объема выборки n определить вероятность конкретной последовательности исходов становится труднее. В этом случае следует применить соответствующую математическую модель, описывающую биномиальное распределение количества вариантов выбора X объектов из выборки, содержащей n элементов.

Биноминальное распределение

где Р(Х) - вероятность X успехов при заданных объеме выборки n и вероятности успеха р , X = 0, 1, … n .

Обратите внимание на то, что формула (2) представляет собой формализацию интуитивных выводов. Случайная величина X , подчиняющаяся биномиальному распределению, может принимать любое целое значение в диапазоне от 0 до n . Произведение р X (1 – р) n – X представляет собой вероятность конкретной последовательности, состоящей из X успехов в выборке, объем которой равен n . Величина определяет количество возможных комбинаций, состоящих из X успехов в n испытаниях. Следовательно, при заданном количестве испытаний n и вероятности успеха р вероятность последовательности, состоящей из X успехов, равна

Р(Х) = (количество возможных последовательностей) * (вероятность конкретной последовательности) =

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение формулы (2).

1. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными? Используя формулу (2), получаем, что вероятность обнаружить три ошибочных заказа в выборке, состоящей из четырех заказов, равна

2. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех окажутся ошибочными? Как показано в предыдущем примере, вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными, равна 0,0036. Чтобы вычислить вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех будут неправильно заполнены, необходимо сложить вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными, и вероятность того, что среди четырех заполненных форм все окажутся ошибочными. Вероятность второго события равна

Таким образом, вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех окажутся ошибочными, равна

Р(Х > 3) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм менее трех окажутся ошибочными? Вероятность этого события

Р(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Используя формулу (2), вычислим каждую из этих вероятностей:

Следовательно, Р(Х < 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Вероятность Р(Х < 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х> 3. Тогда Р(Х< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

По мере увеличения объема выборки n вычисления, аналогичные проведенным в примере 3, становятся затруднительными. Чтобы избегать этих сложностей, многие биномиальные вероятности табулируют заранее. Некоторые из этих вероятностей приведены рис. 1. Например, чтобы получить вероятность, что Х = 2 при n = 4 и p = 0,1, следует извлечь из таблицы число, стоящее на пересечении строки Х = 2 и столбца р = 0,1.

Рис. 1. Биномиальная вероятность при n = 4, Х = 2 и р = 0,1

Биномиальное распределение можно вычислить с помощью функции Excel =БИНОМ.РАСП() (рис. 2), имеющей 4 параметра: число успехов – Х , число испытаний (или объем выборки) – n , вероятность успеха – р , параметр интегральная , принимающий значения ИСТИНА (в этом случае вычисляется вероятность не менее Х событий) или ЛОЖЬ (в этом случае вычисляется вероятность точно Х событий).

Рис. 2. Параметры функции =БИНОМ.РАСП()

Для вышеприведенных трех примеров расчеты приведены на рис. 3 (см. также Excel-файл). В каждом столбце приведено по одной формуле. Цифрами показаны ответы на примеры соответствующего номера).

Рис. 3. Расчет биноминального распределения в Excel для n = 4 и p = 0,1

Свойства биномиального распределения

Биномиальное распределение зависит от параметров n и р . Биномиальное распределение может быть, как симметричным, так и асимметричным. Если р = 0,05, биномиальное распределение является симметричным независимо от величины параметра n . Однако, если р ≠ 0,05, распределение становится асимметричным. Чем ближе значение параметра р к 0,05 и чем больше объем выборки n , тем слабее выражена асимметрия распределения. Таким образом, распределение количества неправильно заполненных форм смещено вправо, поскольку p = 0,1 (рис. 4).

Рис. 4. Гистограмма биномиального распределения при n = 4 и p = 0,1

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению объема выборки n на вероятность успеха р :

(3) Μ = Е(Х) = np

В среднем, при достаточно долгой серии испытаний в выборке, состоящей из четырех заказов, может оказаться р = Е(Х) = 4 х 0,1 = 0,4 неправильно заполненных форм.

Стандартное отклонение биномиального распределения

Например, стандартное отклонение количества неверно заполненных форм в бухгалтерской информационной системе равно:

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 307–313

Теория вероятности незримо присутствует в нашей жизни. Мы не обращаем на это внимания, но каждое событие в нашей жизни имеет ту или иную вероятность. Принимая во внимание огромное количество вариантов развития событий, нам становится необходимым определять наиболее вероятные и наименее вероятные из них. Наиболее удобно анализировать такие вероятностные данные графически. В этом нам может помочь распределение. Биномиальное - одно из самых лёгких и самых точных.

Прежде чем перейти непосредственно к математике и теории вероятности, разберёмся с тем, кто же первый придумал такой вид распределения и какова история развития математического аппарата для этого понятия.

История

Понятие вероятности известно ещё с древних времён. Однако древние математики не придавали ей особо значения и смогли заложить только основы для теории, ставшей впоследствии теорией вероятности. Они создали некоторые комбинаторные методы, которые сильно помогли тем, кто позже создал и развил саму теорию.

Во второй половине семнадцатого века началось формирование основных понятий и методов теории вероятности. Были введены определения случайных величин, способы вычисления вероятности простых и некоторых сложных независимых и зависимых событий. Продиктован такой интерес к случайным величинам и вероятностям был азартными играми: каждый человек хотел знать, какие у него шансы победить в игре.

Следующим этапом стало применение в теории вероятности методов математического анализа. Этим занялись видные математики, такие как Лаплас, Гаусс, Пуассон и Бернулли. Именно они продвинули эту область математики на новый уровень. Именно Джеймс Бернулли открыл биномиальный закон распределения. Кстати, как мы позже выясним, на основе этого открытия были сделаны ещё несколько, которые позволили создать закон нормального распределения и ещё множество других.

Сейчас, прежде чем начать описывать распределение биномиальное, мы немного освежим в памяти понятия теории вероятностей, наверняка уже забытые со школьной скамьи.

Основы теории вероятностей

Будем рассматривать такие системы, в результате действия которых возможны только два исхода: "успех" и "не успех". Это легко понять на примере: мы подбрасываем монетку, загадав то, что выпадет решка. Вероятности каждого из возможных событий (выпадет решка - "успех", выпадет орёл - "не успех") равны 50 процентам при идеальной балансировке монеты и отсутствии прочих факторов, которые могут повлиять на эксперимент.

Это было самое простое событие. Но бывают ещё и сложные системы, в которых выполняются последовательные действия, и вероятности исходов этих действий будут различаться. Например, рассмотрим такую систему: в коробке, содержимое которой мы не можем разглядеть, лежат шесть абсолютно одинаковых шариков, три пары синего, красного и белого цветов. Мы должны достать наугад несколько шариков. Соответственно, вытащив первым один из белых шариков, мы уменьшим в разы вероятность того, что следующим нам тоже попадётся белый шарик. Происходит это потому, что меняется количество объектов в системе.

В следующем разделе рассмотрим более сложные математические понятия, вплотную подводящие нас к тому, что означают слова "нормальное распределение", "биномиальное распределение" и тому подобные.

Элементы математической статистики

В статистике, которая является одной из областей применения теории вероятностей, существует множество примеров, когда данные для анализа даны не в явном виде. То есть не в численном, а в виде разделения по признакам, например, по половым. Для того чтобы применить к таким данным математический аппарат и сделать из полученных результатов какие-то выводы, требуется перевести исходные данные в числовой формат. Как правило, для осуществления этого положительному исходу присваивают значение 1, а отрицательному - 0. Таким образом, мы получаем статистические данные, которые можно подвергнуть анализу с помощью математических методов.

Следующий шаг в понимании того, что такое биномиальное распределение случайной величины, - это определение дисперсии случайной величины и математического ожидания. Об этом поговорим в следующем разделе.

Математическое ожидание

На самом деле понять то, что такое математическое ожидание, несложно. Рассмотрим систему, в которой существует много разных событий со своими различными вероятностями. Математическим ожиданием будет называться величина, равная сумме произведений значений этих событий (а математическом виде, о котором мы говорили в прошлом разделе) на вероятности их осуществления.

Математическое ожидание биномиального распределения рассчитывается по той же самой схеме: мы берём значение случайной величины, умножаем его на вероятность положительного исхода, а затем суммируем полученные данные для всех величин. Очень удобно представить эти данные графически - так лучше воспринимается разница между математическими ожиданиями разных величин.

В следующем разделе мы расскажем вам немного о другом понятии - дисперсии случайной величины. Оно тоже тесно связано с таким понятием, как биномиальное распределение вероятностей, и является его характеристикой.

Дисперсия биномиального распределения

Эта величина тесно связана с предыдущей и также характеризует распределение статистических данных. Она представляет собой средний квадрат отклонений значений от их математического ожидания. То есть дисперсия случайной величины - это сумма квадратов разностей между значением случайной величины и её математическим ожиданием, умноженная на вероятность этого события.

В общем, это всё, что нам нужно знать о дисперсии для понимания того, что такое биномиальное распределение вероятностей. Теперь перейдём непосредственно к нашей основной теме. А именно к тому, что же кроется за таким на вид достаточно сложным словосочетанием "биномиальный закон распределения".

Биномиальное распределение

Разберёмся для начала, почему же это распределение биномиальное. Оно происходит от слова "бином". Может быть, вы слышали о биноме Ньютона - такой формуле, с помощью которой можно разложить сумму двух любых чисел a и b в любой неотрицательной степени n.

Как вы, наверное, уже догадались, формула бинома Ньютона и формула биномиального распределения - это практически одинаковые формулы. За тем лишь исключением, что вторая имеет прикладное значение для конкретных величин, а первая - лишь общий математический инструмент, применения которого на практике могут быть различны.

Формулы распределения

Функция биномиального распределения может быть записана в виде суммы следующих членов:

(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k

Здесь n - число независимых случайных экспериментов, p- число удачных исходов, q- число неудачных исходов, k - номер эксперимента (может принимать значения от 0 до n),! - обозначение факториала, такой функции числа, значение которой равно произведению всех идущих до неё чисел (например, для числа 4: 4!=1*2*3*4=24).

Помимо этого, функция биномиального распределения может быть записана в виде неполной бета-функции. Однако это уже более сложное определение, которое используется только при решении сложных статистических задач.

Биномиальное распределение, примеры которого мы рассмотрели выше, - одно из самых простых видов распределений в теории вероятностей. Существует также нормальное распределение, являющееся одним из видов биномиального. Оно используется чаще всего, и наиболее просто в расчётах. Бывает также распределение Бернулли, распределение Пуассона, условное распределение. Все они характеризуют графически области вероятности того или иного процесса при разных условиях.

В следующем разделе рассмотрим аспекты, касающиеся применения этого математического аппарата в реальной жизни. На первый взгляд, конечно, кажется, что это очередная математическая штука, которая, как обычно, не находит применения в реальной жизни, и вообще не нужна никому, кроме самих математиков. Однако это далеко не так. Ведь все виды распределений и их графические представления были созданы исключительно под практические цели, а не в качестве прихоти учёных.

Применение

Безусловно, самое важное применение распределения находят в статистике, ведь там нужен комплексный анализ множества данных. Как показывает практика, очень многие массивы данных имеют примерно одинаковые распределения величин: критические области очень низких и очень высоких величин, как правило, содержат меньше элементов, чем средние значения.

Анализ больших массивов данных требуется не только в статистике. Он незаменим, например, в физической химии. В этой науке он используется для определения многих величин, которые связаны со случайными колебаниями и перемещениями атомов и молекул.

В следующем разделе разберёмся, насколько важно применение таких статистических понятий, как биномиальное распределение случайной величины в повседневной жизни для нас с вами.

Зачем мне это нужно?

Многие задают себе такой вопрос, когда дело касается математики. А между прочим, математика не зря называется царицей наук. Она является основой физики, химии, биологии, экономики, и в каждой из этих наук применяется в том числе и какое-либо распределение: будь это дискретное биномиальное распределение, или же нормальное, не важно. И если мы получше присмотримся к окружающему миру, то увидим, что математика применяется везде: в повседневной жизни, на работе, да даже человеческие отношения можно представить в виде статистических данных и провести их анализ (так, кстати, и делают те, кто работают в специальных организациях, занимающихся сбором информации).

Сейчас поговорим немного о том, что же делать, если вам нужно знать по данной теме намного больше, чем то, что мы изложили в этой статье.

Та информация, что мы дали в этой статье, далеко не полная. Существует множество нюансов, касаемо того, какую форму может принимать распределение. Биномиальное распределение, как мы уже выяснили, является одним из основных видов, на котором зиждется вся математическая статистика и теория вероятностей.

Если вам стало интересно, или в связи с вашей работой вам нужно знать по этой теме гораздо больше, нужно будет изучить специализированную литературу. Начать следует с университетского курса математического анализа и дойти там до раздела теории вероятностей. Также пригодятся знания в области рядов, ведь биномиальное распределение вероятностей - это ни что иное, как ряд последовательных членов.

Заключение

Прежде чем закончить статью, мы хотели бы рассказать ещё одну интересную вещь. Она касается непосредственно темы нашей статьи и всей математики в целом.

Многие люди твердят, что математика - бесполезная наука, и ничто из того, что они проходили в школе, им не пригодилось. Но знание ведь никогда не бывает лишним, и если вам что-то не пригодилось в жизни, значит, вы просто этого не помните. Если у вас есть знания, они могут вам помочь, но если их нет, то и помощи от них ждать не приходится.

Итак, мы рассмотрели понятие биномиального распределения и все связанные с ним определения и поговорили о том, как же это применяется в нашей с вами жизни.

Здравствуйте! Мы уже знаем, что такое распределение вероятностей. Оно может быть дискретным или непрерывным, и мы узнали, что его называют плотностью распределения вероятностей. Теперь давайте изучим парочку более распространенных распределений. Предположим, у меня есть монета, причем правильная монета, и я собираюсь ее подбросить 5 раз. Также я определю случайную величину Х, обозначу ее заглавной буквой X, она будет равна количеству «орлов» при 5 подбрасываниях. Может, у меня есть 5 монет, я подброшу их все сразу и посчитаю, сколько у меня выпало «орлов». Или у меня могла бы быть одна монета, я могла бы ее подбросить 5 раз и посчитать, сколько раз у меня выпал «орел». Это, собственно, не имеет значения. Но давайте предположим, что у меня одна монета, и я подброшу ее 5 раз. Тогда у нас не будет неопределенности. Итак, вот определение моей случайной величины. Как мы знаем, случайная величина немного отличается от обычной переменной, она больше похожа на функцию. Она присваивает какое-то значение эксперименту. И эта случайная величина довольно проста. Мы просто считаем, сколько раз выпал «орел» после 5 подбрасываний, – это и есть наша случайная величина X. Давайте подумаем, какие могут быть вероятности разных значений в нашем случае? Так, какова вероятность того, что Х (заглавная Х) равна 0? Т.е. какова вероятность того, что после 5 подбрасываний ни разу не выпадет «орел»? Ну, это, по сути, то же самое, что вероятность выпадения одних «решек» (это так, небольшой обзор теории вероятностей). У вас должны выпасть одни «решки». Какова вероятность каждой из этих «решек»? Это 1/2. Т.е. здесь должно быть 1/2 умножить на 1/2, на 1/2, на 1/2 и снова на 1/2. Т.е. (1/2)⁵. 1⁵=1, разделить на 2⁵, т.е. на 32. Вполне логично. Так… Я немного повторю то, что мы проходили по теории вероятностей. Это важно для того, чтобы понимать, куда мы сейчас движемся и как, собственно, формируется дискретное распределение вероятностей. Итак, а какова вероятность того, что у нас ровно 1 раз выпадет «орел»? Ну, «орел» мог бы выпасть при первом подбрасывании. Т.е. могло бы быть так: «орел», «решка», «решка», «решка», «решка». Или «орел» мог бы выпасть при втором подбрасывании. Т.е. могла бы быть такая комбинация: «решка», «орел», «решка», «решка», «решка» и так далее. Один «орел» мог бы выпасть после любого из 5 подбрасываний. Какова вероятность каждой из этих ситуаций? Вероятность выпадения «орла» равна 1/2. Затем вероятность выпадения «решки», равная 1/2, умножить на 1/2, на 1/2, на 1/2. Т.е. вероятность каждой из этих ситуаций равна 1/32. Так же, как и вероятность ситуации, где Х=0. По сути, вероятность любого особого порядка выпадений «орла» и «решки» будет равна 1/32. Итак, вероятность этого равна 1/32. И вероятность этого равна 1/32. И вот такие ситуации имеют место потому, что «орел» мог бы выпасть при любом из 5 подбрасываний. Следовательно, вероятность того, что точно выпадет один «орел», равна 5*1/32, т.е. 5/32. Вполне логично. Теперь начинается интересное. Какова вероятность… (буду писать каждый из примеров другим цветом)… какова вероятность того, что моя случайная величина равна 2? Т.е. я подброшу монету 5 раз, и какова вероятность того, что 2 раза точно выпадет «орел»? Это уже интереснее, правда? Какие возможны комбинации? Могла бы быть «орел», «орел», «решка», «решка», «решка». Также могла бы быть «орел», «решка», «орел», «решка», «решка». И если подумать, что эти два «орла» могут стоять в разных местах комбинации, то можно немного запутаться. Уже нельзя размышлять о размещениях так, как мы это делали здесь, вверху. Хотя… можно, только рискуете запутаться. Вы должны понять одно. Для каждой из этих комбинаций вероятность равна 1/32. ½*½*½*½*½. Т.е. вероятность каждой из этих комбинаций равна 1/32. И мы должны подумать над тем, сколько существует таких комбинаций, удовлетворяющих нашему условию (2 «орла»)? Т.е. по сути, нужно представить, что есть 5 подбрасываний монеты, и нужно из них выбрать 2, при которых выпадает «орел». Давайте представим, что наши 5 подбрасываний собрались в кружочек, также представим, что у нас есть только два стула. И мы говорим: «Хорошо, кто из вас сядет на эти стулья для «орлов»? Т.е. кто из вас будет «орлом»? И нас не интересует то, в каком порядке они сядут. Я привожу такой пример, надеясь, что так вам будет понятнее. И может, вам захочется посмотреть некоторые уроки по теории вероятностей на эту тему, когда я буду говорить о биноме Ньютона. Потому что там я более детально углублюсь во все это. Но если вы будете рассуждать таким путем, то поймете, что такое биномиальный коэффициент. Потому что если будете думать так: хорошо, у меня 5 подбрасываний, при каком подбрасывании выпадет первый «орел»? Ну, здесь 5 возможностей того, при каком по счету подбрасывании выпадет первый «орел». А сколько возможностей для второго «орла»? Ну, первое подбрасывание, которое мы уже использовали, забрало одну возможность выпадения «орла». Т.е. одна позиция «орла» в комбинации уже занята одним из подбрасываний. Теперь осталось 4 подбрасывания, значит, второй «орел» может выпасть при одном из 4 подбрасываний. И вы это видели, вот здесь. Я выбрала так, что «орел» выпал при 1-м подбрасывании, и предположила, что при 1 из 4 оставшихся бросков также должен выпасть «орел». Итак, здесь только 4 возможности. Все, что я говорю, означает, что для первого «орла» у вас есть 5 различных позиций, на которые он может выпасть. А для второго уже остается только 4 позиции. Подумайте над этим. Когда мы вычисляем вот так, то порядок учитывается. Но для нас сейчас неважно, в какой последовательности выпадают «орлы» и «решки». Мы не говорим, что это «орел 1» или что это «орел 2». В обоих случаях это просто «орел». Мы могли бы предположить, что это «орел 1», а это – «орел 2». Или могло бы быть наоборот: это мог бы быть второй «орел», а это – «первый». И я говорю это потому, что важно понять, где использовать размещения, а где – сочетания. Нас не интересует последовательность. Так что, собственно, есть только 2 способа происхождения нашего события. Значит, делим это на 2. И как вы позже увидите, здесь 2! способов происхождения нашего события. Если было бы 3 «орла», тогда здесь было бы 3!, и я покажу вам, почему. Итак, это будет равно… 5*4=20 и разделить на 2 – получится 10. Поэтому здесь 10 различных комбинаций из 32, в которых у вас точно будет 2 «орла». Итак, 10*(1/32) равно 10/32, а чему это равно? 5/16. Запишу через биномиальный коэффициент. Это значение, вот здесь, вверху. Если подумать, то это – то же самое, что и 5!, деленный на… Что означает вот это 5*4? 5! – это 5*4*3*2*1. Т.е. если мне здесь нужно только 5*4, то для этого я могу разделить 5! на 3! Это равно 5*4*3*2*1, деленное на 3*2*1. И остается только 5*4. Значит, это – то же самое, что и этот числитель. И затем, т.к. нас не интересует последовательность, нам нужно здесь 2. Собственно, 2!. Умножить на 1/32. Такой была бы вероятность того, что у нас выпало бы точно 2 «орла». Какова вероятность того, что у нас точно 3 раза выпадет «орел»? Т.е. вероятность того, что Х=3. Итак, по той же логике, первый случай выпадения «орла» может иметь место при 1 из 5 подбрасываний. Второй случай выпадения «орла» может иметь место при 1 из 4 оставшихся подбрасываний. А третий случай выпадения «орла» может иметь место при 1 из 3 оставшихся подбрасываний. А сколько существует различных способов расставить 3 подбрасывания? В общем, сколько есть способов, чтобы расставить 3 предмета по местам? Это 3! И вы можете это вычислить или, возможно, захотите пересмотреть те уроки, в которых я подробнее это объясняла. Но если вы, например, возьмете буквы A, B и C, то всего есть 6 способов, с помощью которых вы их можете расставить. Можете рассматривать это как случаи выпадения «орлов». Здесь могли бы быть ACB, CAB. Могло бы быть BAC, BCA, и… Какой последний вариант, который я не назвала? CBA. Есть 6 способов расставить 3 разных предмета. Мы делим на 6, потому что не хотим повторно засчитывать эти 6 разных способов, потому что рассматриваем их как равнозначные. Здесь нас не интересует, при каком по счету подбрасывании выпадет «орел». 5*4*3… Это можно переписать, как 5!/2!. И разделить это еще на 3!. Это он и есть. 3! равен 3*2*1. Тройки сокращаются. Это становится равным 2. Это – равным 1. Еще раз, 5*2, т.е. равно 10. Каждая ситуация имеет вероятность 1/32, потому это опять равно 5/16. И это интересно. Вероятность того, что у вас выпадет 3 «орла» равна вероятности того, что у вас есть 2 орла. И причина этому… Ну, есть много причин тому, что так получилось. Но если подумать, что вероятность того, что выпадет 3 «орла» – то же самое, что вероятность выпадения 2 «решек». И вероятность выпадения 3 «решек» должна быть такой же, как и вероятность выпадения 2-х «орлов». И хорошо, что значения вот так срабатывают. Хорошо. Какова вероятность того, что Х=4? Мы можем использовать ту же формулу, что использовали прежде. Это могло бы быть 5*4*3*2. Итак, здесь запишем 5*4*3*2… Сколько есть различных способов расставить 4 предмета? Это 4!. 4! – это, по сути, вот эта часть, вот здесь. Это 4*3*2*1. Так, это сокращается, остается 5. Затем, каждая комбинация имеет вероятность 1/32. Т.е. это равно 5/32. И еще раз заметьте, что вероятность того, что 4 раза выпадет «орел» равна вероятности того, что 1 раз выпадет «орел». И в этом есть смысл, т.к. 4 «орла» – это то же самое, что случай выпадения 1 «решки». Вы скажете: ну, и при каком же подбрасывании выпадет эта одна «решка»? Ага, для этого здесь есть 5 различных комбинаций. И каждая из них имеет вероятность 1/32. И наконец, какова вероятность того, что Х=5? Т.е. выпадает «орел» 5 раз подряд. Должно быть так: «орел», «орел», «орел», «орел», «орел». Каждый из «орлов» имеет вероятность 1/2. Вы их перемножаете и получаете 1/32. Можно пойти другим путем. Если всего есть 32 способа, с помощью которых вы можете получить «орлы» и «решки» в этих экспериментах, то это – только один из этих способов. Здесь таких способов было 5 из 32. Здесь - 10 из 32. Тем не менее, вычисления мы провели, а теперь готовы нарисовать распределение вероятностей. Но мое время истекло. Позвольте продолжить на следующем уроке. А если вы в настроении, то, может, нарисуете перед тем, как смотреть следующий урок? До скорой встречи!

Биномиальное распределение

распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 ≤ p ≤ 1, то число μ появлений этого события при n независимых испытаниях есть случайная величина, принимающая значения m = 1, 2,.., n с вероятностями

где q = 1 - p, a - биномиальные коэффициенты (отсюда название Б. р.). Приведённая формула иногда называется формулой Бернулли. Математическое ожидание и Дисперсия величины μ, имеющей Б. р., равны М (μ) = np и D (μ) = npq , соответственно. При больших n, в силу Лапласа теоремы (См. Лапласа теорема), Б. р. близко к нормальному распределению (См. Нормальное распределение), чем и пользуются на практике. При небольших n приходится пользоваться таблицами Б. р.

Лит.: Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Биномиальное распределение" в других словарях:

Функция вероятности … Википедия

- (binomial distribution) Распределение, позволяющее рассчитать вероятность наступления какого либо случайного события, полученного в результате наблюдений ряда независимых событий, если вероятность наступления, составляющих его элементарных… … Экономический словарь

- (распределение Бернулли) распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна p(0 p 1). Именно, число? появлений этого события есть… … Большой Энциклопедический словарь

биномиальное распределение - — Тематики электросвязь, основные понятия EN binomial distribution …

- (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0≤р≤1). Именно, число μ появлений этого события… … Энциклопедический словарь

биномиальное распределение - 1.49. биномиальное распределение Распределение вероятностей дискретной случайной величины X, принимающей любые целые значения от 0 до n, такое что при х = 0, 1, 2, ..., n и параметрах n = 1, 2, ... и 0 < p < 1, где Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Распределение Бернулли, распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения с вероятностями соответственно (биномиальный коэффициент; р параметр Б. р., наз. вероятностью положительного исхода, принимающей значения … Математическая энциклопедия

- (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений нек рого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Естествознание. Энциклопедический словарь

Биномиальное распределение вероятностей - (binomial distribution) Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или … Экономико-математический словарь

биномиальное распределение вероятностей - Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или минус, 0 или 1. То есть… … Справочник технического переводчика

Книги

• Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. Более 360 задач и упражнений , Д. А. Борзых. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…
• Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…