Какое число называют главным периодом периодической функции. Как определить периодичность функции

Изучая явления природы, решая технические задачи, мы сталкиваемся с периодическими процессами, которые можно описать функциями особого вида.

Функция y = f(x) с областью определения D называется периодической, если существует хотя бы одно число T > 0, такое, при котором выполняются следующие два условия:

1) точки x + T, x − T принадлежат области определения D для любого x ∈ D;

2) для каждого x из D имеет место соотношение

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

Число T называется периодом функции f(x). Иными словами, периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Например, функция y = sin x - периодическая (рис. 1) с периодом 2π.

Заметим, что если число T является периодом функции f(x), то и число 2T также будет ее периодом, как и 3T, и 4T и т. д., т. е. у периодической функции бесконечно много разных периодов. Если среди них имеется наименьший (не равный нулю), то все остальные периоды функции являются кратными этого числа. Заметим, что не каждая периодическая функция имеет такой наименьший положительный период; например, функция f(x)=1 такого периода не имеет. Важно также иметь в виду, что, например, сумма двух периодических функций, имеющих один и тот же наименьший положительный период T 0 , не обязательно имеет тот же самый положительный период. Так, сумма функций f(x) = sin x и g(x) = −sin x вообще не имеет наименьшего положительного периода, а сумма функций f(x) = sin x + sin 2x и g(x) = −sin x, наименьшие периоды которых равны 2π, имеет наименьший положительный период, равный π.

Если отношение периодов двух функций f(x) и g(x) является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Если же отношение периодов всюду определенных и непрерывных функций f и g будет иррациональным числом, то функции f+g и fg уже будут непериодическими функциями. Так, например, функции cos x sin √2 x и cosj √2 x + sin x являются непериодическими, хотя функции sin x и cos x периодичны с периодом 2π, функции sin √2 x и cos √2 x периодичны с периодом √2 π.

Отметим, что если f(x) - периодическая функция с периодом T, то сложная функция (если, конечно, она имеет смысл) F(f(x)) является также периодической функцией, причем число T будет служить её периодом. Например, функции y = sin 2 x, y = √(cos x) (рис. 2,3) - периодические функции (здесь: F 1 (z) = z 2 и F 2 (z) = √z). Не следует, однако, думать, что если функция f(x) имеет наименьший положительный период T 0 , то и функция F(f(x)) будет иметь такой же наименьший положительный период; например, функция y = sin 2 x имеет наименьший положительный период, в 2 раза меньший, чем функция f(x) = sin x (рис. 2).

Нетрудно показать, что если функция f периодична с периодом T, определена и дифференцируема в каждой точке действительной прямой, то функция f"(x) (производная) есть также периодическая функция с периодом T, однако первообразная функция F(x) (см. Интегральное исчисление) для f(x) будет периодической функцией только в том случае, когда

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX

§ 207. Периодические функции

Функция у = f (x ) называется периодической, если существует число Т =/= 0, такое, что при всех значениях х из области определения зтой функции.

f (x + T) = f (x ) .

Число Т в этом случае называется периодом функции.

Периодическими являются, например, тригонометрические функции у = sin х и у = cos х . Их период равен 2π . Примером периодической нетригонометрической функции может служить функция у = {х }, которая каждому числу х ставит в соответствие его дробную часть*.

* О дробной части числа см. в главе VIII, § 187.

Например, {3,56} = 0,56; {2,01} = 0,01 и т.д. Если к произвольному числу х прибавить 1, то изменится лишь целая часть этого числа; дробная же часть останется прежней. Следовательно, {х + 1} = {х } и потому функция у = {х } является периодической с периодом 1.

Из равенства f (x + T) = f (x ) следует, что все значения функции у = f (x ) повторяются с периодом T. Это находит свое отражение и в графическом изображении периодических функций. Так, например, в интервале синусоида имеет ту же самую форму, что и в интервалах , и т. д. (рис. 282).

На рисунке 283 представлен график функции у = {х }. Периодичность функции у = {х } обусловливает то, что график ее в интервале имеет ту же самую форму, что и в интервалах , и т. д.

Если Т - период функции f (x ), то 2Т, 3T, 4Т и т. д. также периоды этой функции.

Действительно,

f (x + 2T) = f [(x + T) + Т] = f (x + T) = f (x ),

f (x + 3T) = f [(x + 2T) + Т] = f (x + 2T) = f (x )

и т. д. Кроме того, периодом функции f (x ) можно считать и любое из чисел: - Т, - 2T, - 3Т и т. д. В самом деле,

f (x - Т) = f [(x - Т) + Т] = f (x ),

f (x - 2Т) = f [(x - 2Т) + 2Т] = f (x )

и т. д. Итак, если число Т есть период функции f (x ), то при любом целом п число п Т также период этой функции. Поэтому всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов . Например, периодом функции у = sin x можно считать любое из чисел: 2π , 4π , 6π , - 2π , - 4π , а периодом функции у = {х } - любое из чисел: 1, 2, 3, - 1, - 2, - 3 и т. д.

Говоря о периоде функции у = f (x ), обычно имеют в виду наименьший положительный период. Так, мы говорим, что периодом функции у = sin х является число 2π , периодом функции у = tg х - число π , периодом функции {х } - число 1 и т. д.

Следует, однако, иметь в виду, что наименьшего положительного периода у периодической функции может и не быть.

Например, для функции f (x ) = 3 (рис. 284) любое действительное число является периодом. Но среди положительных действительных чисел не существует наименьшего. Поэтому и функция f (x ) = 3, имея бесконечное множество периодов, не имеет наименьшего положительного периода.

Упражнения

Для каждой из данных функций (№ 1613-1621) найти наименьший положительный период:

1613. у = sin 2х . 1619. у = sin (3х - π / 4).

1614. у = cos x / 2 . 1620. у = sin 2 х

1615. у = tg 3х . 1621. у = sin 4 х + cos 4 х .

1616. у = cos (1 - 2х ).

1617. у = sin х cos х .

1618. у = ctg x / 3 ;

1622. Доказать, что сумма и произведение двух функций, периодических с одним и тем же периодом Т, являются функциями, периодическими с периодом Т.

1623*. Докажите, что функция у = sin х + {х }, являющаяся суммой двух периодических функций у = sin х и у = {х }, сама не является периодической.

Не противоречит ли это результату предыдущей задачи?

1624. Как достроить график функции у = f (x ), периодической с периодом Т, если он задан лишь в интервале ?

Часто при изучении явлений природы, химических и физических свойств различных веществ, а также при решении сложных технических задач приходится сталкиваться с процессами, характерной чертой которых является периодичность, то есть тенденция к повторению через некоторый промежуток времени. Для описания и графического изображения такой цикличности в науке существует функция особого вида - периодическая функция.

Самый простой и всем понятный пример - обращение нашей планеты вокруг Солнца, при котором все время меняющееся между ними расстояние подчиняется годовым циклам. Точно так же возвращается на свое место, совершив полный оборот, лопасть турбины. Все подобные процессы можно описать такой математической величиной, как периодическая функция. По большому счету, весь наш мир имеет цикличный характер. А значит, и периодическая функция занимает немаловажное место в системе человеческих координат.

Потребность математической науки в топологии, и точных геометрических вычислениях привела к появлению в девятнадцатом веке новой категории функций с необычными свойствами. Ими стали периодические функции, принимающие тождественные значения в определенных точках в результате сложных преобразований. Сейчас они применяются во многих разделах математики и других наук. Например, при изучении различных колебательных эффектов в волновой физике.

В различных математических учебниках даются разные определения периодической функции. Однако независимо от этих расхождений в формулировках, все они эквивалентны, так как описывают они и те же Наиболее простым и понятным может быть следующее определение. Функции, числовые показатели которых не подвергаются изменениям, если прибавить к их аргументу некоторое число, отличное от нуля, так называемый период функции, обозначаемый литерой Т, называются периодическими. Что все это значит на практике?

Например, простая функция вида: y = f(x) станет периодической в том случае, если Х имеет определенное значение периода (Т). Из данного определения следует, что если числовое значение функции, имеющей период (Т), определено в одной из точек (х), то ее значение также становится известным в точках х + Т, х - Т. Важным моментом здесь является то, что при Т равном нулю функция превращается в тождество. Периодическая функция может обладать бесконечным числом различных периодов. В основной массе случаев среди положительных значений Т существует период с наименьшим числовым показателем. Его называют основным периодом. А все остальные значения Т всегда ему кратны. Это еще одно интересное и очень важное для различных областей науки свойство.

График периодической функции обладает тоже несколькими особенностями. Например, если Т является основным периодом выражения: y = f(x), то при построении графика данной функции достаточно всего лишь построить ветвь на одном из промежутков длины периода, а затем перенести ее по оси х на следующие значения: ±Т, ±2Т, ±3Т и так далее. В заключение следует отметить, что не у всякой периодической функции есть основной период. Классическим примером этого служит функция немецкого математика Дирихле следующего вида: y = d(x).

По школьным урокам математики каждый помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством - повторяться через определенный промежуток - обладают и многие другие функции. Они называются периодическими. Периодичность - очень важное свойство функции, часто встречающееся в различных задачах. Поэтому полезно уметь определять, является ли функция периодической.

Инструкция

• Если F(x) - функция аргумента x, то она называется периодической, если есть такое число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.Обычно математика интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.
• Классический пример периодических функций - тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции - не единственные периодические.
• Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность - вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.
• Если F(x) - периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) - тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C - нет.
• Если F(x) - периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k - константы и k не равно нулю - тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) - периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз
• Если F1(x) и F2(x) - периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 - рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй - 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.
• Однако если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π - иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

Материал для подготовки к коллоквиуму по алгебре.

1. Определение функции.

Функция - зависимость переменной у от переменной x , при которой каждому значению х соответствует единственное значение переменной у .

2. Определение возрастающей функции.

Возрастающая функция (не убывающая) - если для любых значений х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство (если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции).

Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции , нужно, двигаясь слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х , на которых график идет вверх .

Убывающая функция (не возрастающая) - если для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство (большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Чтобы по графику функцииопределить промежутки убывания функции , нужно, двигаясь слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х , на которых график идет вниз .

Определение четной функции, нечетной функции, функции общего вида.

Функция называется четной, если выполнены следующие два условия:

1. если (если х – х

2. для любого х .

Функция называется нечетной , если выполнены следующие два условия:

1. Если область определения функции симметрична относительно оси ОУ (если х принадлежит области определения функции, то и – х также принадлежит области определения функции);

2. для любого х из области определения функции выполняется равенство .

Функция называется функцией общего вида если не выполняются данные условия.

4. Каким условием обладает график четной, нечетной функций?

Свойство. График чётной функциисимметричен относительно оси ОY .

Свойство. График нечётной функции симметричен относительно начала координат .

Определение периодической функции.

Функция называется периодической , если существует положительное число Т такое, что . Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

6. Перечислите основные свойства функции y= sin x:

1) Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная х .

Область определения этой функции - множество всех действительных чисел. Так как вместо х в уравнение y=sin(x) мы можем поставить любое число. D (sin х) = R.

2) Область значений функции - все значения, которые принимает зависимая переменная у .

Область значений этой функции - является отрезок [-1;1]. E (sin х) = [-1;1].

3) Функция называется периодической, если существует положительное число Т такое, что . Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

Функция y=sin(x) периодическая, с периодом 2π.

4) Функция y=sin(x) нечетная. Вспомним, что график нечётной функциисимметричен относительно начала координат.

5) Функция y=sin(x) принимает:

Значение, равное 0, при х =

Наименьшее значение, равное -1, при х= - ;

Положительные значения на интервале (0,π) и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

Отрицательные значения на интервале ()и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

6) Функция y=sin(x):

- возрастает на отрезке [ - ; ], и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

Убывает на отрезке [ ; ], и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

7. Перечислите основные свойства функции y= cos x:

1) Область определения этой функции - множество всех действительных чисел. D(cos) = R.

2) Область значений этой функции - является отрезок [-1;1]. E (cos)=[-1;1].

3) Функция y = cos (x) периодическая, с периодом 2 .

4) Функция y=cos(x) четная. Напомню, что график нечётной функции симметричен относительно оси ОY.

5) Функция y=cos(x) принимает:

Значение, равное 0, при х = ;

Наибольшее значение, равное 1, при х = ;

Наименьшее значение, равное -1, при х = ;

Положительные значения на интервале () и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

Отрицательные значения на интервале ( ; ) и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

6) Функция y=cos(x):

- возрастает на отрезке [ ;2 ], и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

Убывает на отрезке , и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

Графики функций y=cos(x) и y= sin (x)

8. Перечислите основные свойства функции y= tg x:

1) Область определения этой функции - множество всех действительных чисел, кроме .