На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.
Пример 1.
Дано множество А = {а, с, р, о}. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:
Собственные подмножества: {а} , {с} , {р} , {о} , {а, с} , {а, р} , {а, о}, {с, р} , {с, о } ∈, {р, о}, {а, с,р} , {а, с, о}, {с, р, о}.
Несобственные: {а, с, р, о}, Ø.
Всего: 16 подмножеств.
Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.
Пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
. любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
. У любого n-элементного множества ровно 2 n подмножеств.
Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.
Вывод формулы: Допустим у нас имеется множество из n-элементов. При составлении подмножеств первый элемент может принадлежать подмножеству или не принадлежать, т.е. первый элемент можем выбрать двумя способами, аналогично для всех остальных элементов (всего n-элементов), каждый можем выбрать двумя способами, и по правилу умножения получаем: 2∙2∙2∙ ...∙2=2 n
Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.
Теорема. Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов, равно 2 n .
Доказательство.
Множество, состоящее из одного элемента a, имеет два (т.е. 2 1) подмножества: ∅ и {a}. Множество, состоящее из двух элементов a и b, имеет четыре (т.е. 2 2) подмножества: ∅, {a}, {b}, {a; b}.
Множество, состоящее из трех элементов a, b, c, имеет восемь (т.е. 2 3) подмножеств:
∅, {a}, {b}, {b; a}, {c}, {c; a},{c; b}, {c; b; a}.
Можно предположить, что добавление нового элемента удваивает число подмножеств.
Завершим доказательство применением метода математической индукции. Сущность этого метода в том, что если утверждение (свойство) справедливо для некоторого начального натурального числа n 0 и если из предположения, что оно справедливо для произвольного натурального n = k ≥ n 0 можно доказать его справедливость для числа k + 1, то это свойство справедливо для всех натуральных чисел.
1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.
2. Допустим, что теорема доказана для n = k, т.е. число подмножеств множества, состоящего из k элементов, равно 2 k .
3. Докажем, что число подмножеств множества B, состоящего из n = k + 1 элемента равно 2 k+1 .
Выбираем некоторый элемент b множества B. Рассмотрим множество A = B \ {b}. Оно содержит k элементов. Все подмножества множества A - это подмножества множества B, не содержащие элемент b и, по предположению, их 2 k штук. Подмножеств множества B, содержащих элемент b, столько же, т.е. 2 k
штук.
Следовательно, всех подмножеств множества B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорема доказана.
В примере 1 множество А = {а, с, р, о} состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2 4 =16.
Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.
Пример 2.
Eсть множество {a b c}, в соответствие ставятся следующие числа:
000 = {0} (пустое множество)
001 = {c}
010 = {b}
011 = {b c}
100 = {a}
101 = {a c}
110 = {a b}
111 = {a b c}
Калькулятор множества всех подмножеств.
В калькуляторе уже набраны элементы множества А = {а, с, р, о} , достаточно нажать кнопку Submit. Если вам необходимо решение своей задачи, то набираем элементы множества на латинице, через запятую, как показано в примере.
Принадлежащие , также принадлежит . Формальное определение:
Множество называется надмно́жеством множества , если - подмножество .
Существует два символических обозначения для подмножеств:
Обе системы обозначений используют символ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.
То, что называется надмножеством , часто записывают .
Множество всех подмножеств множества обозначается и называется булеаном .
Собственное подмножество
Любое множество является своим подмножеством. Если мы хотим исключить из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного
Множество является собственным подмножеством множества , если и .
Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:
Множество является нетривиальным подмножеством множества , если является собственным подмножеством и .
Примеры
- Множества
- Множества являются подмножествами множества
- Пусть , тогда .
- Пусть . Тогда .
Свойства
Отношение подмножества обладает целым рядом свойств .
- Отношение подмножества является отношением частичного порядка :
- Отношение подмножества рефлексивно :
- Отношение подмножества антисимметрично :
- Отношение подмножества транзитивно :
- Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
- Для любых двух множеств и следующие утверждения эквивалентны:
Подмножества конечных множеств
Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется таких подмножеств.
Напишите отзыв о статье "Подмножество"
Примечания
Литература
- Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. - 3-е изд., стереотип. - М .: МЦНМО, 2008. - 128 с. - ISBN 978-5-94057-321-0 .
|
Отрывок, характеризующий Подмножество
– Я не виноват, что разговор зашел при других офицерах. Может быть, не надо было говорить при них, да я не дипломат. Я затем в гусары и пошел, думал, что здесь не нужно тонкостей, а он мне говорит, что я лгу… так пусть даст мне удовлетворение…– Это всё хорошо, никто не думает, что вы трус, да не в том дело. Спросите у Денисова, похоже это на что нибудь, чтобы юнкер требовал удовлетворения у полкового командира?
Денисов, закусив ус, с мрачным видом слушал разговор, видимо не желая вступаться в него. На вопрос штаб ротмистра он отрицательно покачал головой.
– Вы при офицерах говорите полковому командиру про эту пакость, – продолжал штаб ротмистр. – Богданыч (Богданычем называли полкового командира) вас осадил.
– Не осадил, а сказал, что я неправду говорю.
– Ну да, и вы наговорили ему глупостей, и надо извиниться.
– Ни за что! – крикнул Ростов.
– Не думал я этого от вас, – серьезно и строго сказал штаб ротмистр. – Вы не хотите извиниться, а вы, батюшка, не только перед ним, а перед всем полком, перед всеми нами, вы кругом виноваты. А вот как: кабы вы подумали да посоветовались, как обойтись с этим делом, а то вы прямо, да при офицерах, и бухнули. Что теперь делать полковому командиру? Надо отдать под суд офицера и замарать весь полк? Из за одного негодяя весь полк осрамить? Так, что ли, по вашему? А по нашему, не так. И Богданыч молодец, он вам сказал, что вы неправду говорите. Неприятно, да что делать, батюшка, сами наскочили. А теперь, как дело хотят замять, так вы из за фанаберии какой то не хотите извиниться, а хотите всё рассказать. Вам обидно, что вы подежурите, да что вам извиниться перед старым и честным офицером! Какой бы там ни был Богданыч, а всё честный и храбрый, старый полковник, так вам обидно; а замарать полк вам ничего? – Голос штаб ротмистра начинал дрожать. – Вы, батюшка, в полку без году неделя; нынче здесь, завтра перешли куда в адъютантики; вам наплевать, что говорить будут: «между павлоградскими офицерами воры!» А нам не всё равно. Так, что ли, Денисов? Не всё равно?
Денисов всё молчал и не шевелился, изредка взглядывая своими блестящими, черными глазами на Ростова.
– Вам своя фанаберия дорога, извиниться не хочется, – продолжал штаб ротмистр, – а нам, старикам, как мы выросли, да и умереть, Бог даст, приведется в полку, так нам честь полка дорога, и Богданыч это знает. Ох, как дорога, батюшка! А это нехорошо, нехорошо! Там обижайтесь или нет, а я всегда правду матку скажу. Нехорошо!
И штаб ротмистр встал и отвернулся от Ростова.
– Пг"авда, чог"т возьми! – закричал, вскакивая, Денисов. – Ну, Г"остов! Ну!
Ростов, краснея и бледнея, смотрел то на одного, то на другого офицера.
– Нет, господа, нет… вы не думайте… я очень понимаю, вы напрасно обо мне думаете так… я… для меня… я за честь полка.да что? это на деле я покажу, и для меня честь знамени…ну, всё равно, правда, я виноват!.. – Слезы стояли у него в глазах. – Я виноват, кругом виноват!… Ну, что вам еще?…
– Вот это так, граф, – поворачиваясь, крикнул штаб ротмистр, ударяя его большою рукою по плечу.
– Я тебе говог"ю, – закричал Денисов, – он малый славный.
– Так то лучше, граф, – повторил штаб ротмистр, как будто за его признание начиная величать его титулом. – Подите и извинитесь, ваше сиятельство, да с.
– Господа, всё сделаю, никто от меня слова не услышит, – умоляющим голосом проговорил Ростов, – но извиняться не могу, ей Богу, не могу, как хотите! Как я буду извиняться, точно маленький, прощенья просить?
Денисов засмеялся.
– Вам же хуже. Богданыч злопамятен, поплатитесь за упрямство, – сказал Кирстен.
– Ей Богу, не упрямство! Я не могу вам описать, какое чувство, не могу…
– Ну, ваша воля, – сказал штаб ротмистр. – Что ж, мерзавец то этот куда делся? – спросил он у Денисова.
– Сказался больным, завтг"а велено пг"иказом исключить, – проговорил Денисов.
– Это болезнь, иначе нельзя объяснить, – сказал штаб ротмистр.
– Уж там болезнь не болезнь, а не попадайся он мне на глаза – убью! – кровожадно прокричал Денисов.
В комнату вошел Жерков.
– Ты как? – обратились вдруг офицеры к вошедшему.
– Поход, господа. Мак в плен сдался и с армией, совсем.
– Врешь!
– Сам видел.
– Как? Мака живого видел? с руками, с ногами?
– Поход! Поход! Дать ему бутылку за такую новость. Ты как же сюда попал?
– Опять в полк выслали, за чорта, за Мака. Австрийской генерал пожаловался. Я его поздравил с приездом Мака…Ты что, Ростов, точно из бани?
– Тут, брат, у нас, такая каша второй день.
Вошел полковой адъютант и подтвердил известие, привезенное Жерковым. На завтра велено было выступать.
– Поход, господа!
– Ну, и слава Богу, засиделись.
Кутузов отступил к Вене, уничтожая за собой мосты на реках Инне (в Браунау) и Трауне (в Линце). 23 го октября.русские войска переходили реку Энс. Русские обозы, артиллерия и колонны войск в середине дня тянулись через город Энс, по сю и по ту сторону моста.
«Под множеством
мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» - так описал понятие «множество» Георг Кантор, основатель теории множеств.
Основные предпосылки канторовской теории множеств сводятся к следующему:
1°
Множество может состоять из любых различимых объектов.
2°
Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.
3°
Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.
Если х - объект, Р - свойство, Р(х) - обозначение того, что х обладает свойством Р, то через {х|Р(х)} обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.
Термин «множество
» употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить о:
а) множестве пчёл в улье,
б) множестве точек отрезка,
в) множестве вершин квадрата или о множествах его сторон и диагоналей,
г) множестве студентов в аудитории и т.д.
В приведённых примерах в случаях а), в)-г) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными
. Множество точек отрезка (пример б)) пересчитать невозможно, поэтому такие множества называются бесконечными
. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым
множеством.
Наиболее простая форма задания множества — перечисление его элементов, например А={4, 7, 13} (множество А состоит из трёх элементов — целых чисел 4, 7, 13). Другая часто применяемая форма задания — указание свойств элементов множества, например A = {x| x^2 ≤ 4} — множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию.
Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы — малыми: а, в, с,… Запись а ∈ А (читается: а принадлежит А) или A ∋ a (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.
Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение — B ⊆ A или A ⊇ B).
Каждое множество является своим подмножеством (это самое «широкое» подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое «узкое» подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение B ⊂ A или A ⊃ B. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств: A = B. (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения).
Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. В любой имеющей смысл задаче обычно рассматриваются подмножества некоторого «наибольшего» множества U, которое называют универсальным множеством. Так, на рис. 1 изображено универсальное множество U и два его подмножества — множества А и В, B ⊂ A. Сами картинки типа рис. 1 называются диаграммами Эйлера-Венна .
Урок и презентация на тему: "Множества и подмножества, примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"
Электронное учебное пособие для учащихся 7-9 классов "Понятная алгебра"
Множества и подмножества
Ребята, мы переходим к изучению очень важной темы "Множества". Множества нам будут встречаться постоянно, в курсах математики за более старшие классы и в 9 классе почти все темы тесно связанны с данным понятием. Поэтому постарайтесь хорошо усвоить данную тему.Так что же такое множество?
Существуют специальные обозначения множеств. Например, для множества натуральных чисел. Ребята, а вы помните, как это множество обозначается? Пример.
Решение. Тогда решения нашего уравнения: $x=0;-2;-1$ – это и есть элементы искомого множества. Пример
.
$а) \{1,2,3,4,...,9,10 \} \\ б) \{1,8,27,64 ... \}$ Пример
. А) $\{x^2 | x^2+1>0\}$ Не забудем, что пустое множество так же является подмножеством нашего множества. Тогда получаем, что у нас есть 3+3+1+1=8 подмножеств.
Два множества A и
B равны, если они состоят из одних и тех
же элементов. Из этого принципа
следует, что для любых двух различных
множеств всегда найдется некоторый
объект, являющийся элементом одного из
них и не являющийся элементом другого.
Так как пустые совокупности не содержат
элементов, то они не различимы и поэтому
пустое множество – единственно. Подмножества.
Определение
равенства множеств можно сформулировать
иначе, используя понятие подмножества. Определение.
Множество
A называется подмножеством множества
B
,
если каждый элемент A является элементом
B. Следствие 1.
Очевидно,
Следствие 2.
Для
любого множества A,
Если
Понятие подмножества
множеств позволяет легко формализовать
понятие равенства двух множеств. Утверждение.
Для
любых A и B Логическую
эквивалентность, определяемую выражением
(1.1) используют как основной способ
доказательства равенства двух множеств. Замечание
.
Отношение
включения
обладает рядом очевидных свойств:
(рефлексивность); (транзитивность). Для любого
множества X можно определить специальное
множество всех подмножеств множества
X, которое называется булеаном
ℬ Пример.
Пусть
Собственными
подмножествами ℬ
(X)
являются следующие множества: {a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}. В общем случае,
если множество X содержит n элементов,
то множество его подмножеств ℬ
(X)
состоит из
элементов. Пусть U – универсальное
множество,
Определение
.
Объединением
множеств X и Y называется множество
Рис.
1.1 –
Объединение
множеств Рис.
1.2
– Пересечение
множеств Определение
.
Пересечением
множеств X и Y называется множество
Определение
.
Разностью
множеств X и Y называется множество
Рис.
1.3
– Разность
множеств
разность
множеств
Определение
.
Симметрической
разностью двух множеств X и Y называется
множество
Определение
.
Для
любого множества
Рис.
1.5
– Дополнение
множества X до U На рис. 1.1
1.5 представлены диаграммы Венна, наглядно
демонстрирующие результаты операций
Дополнение множества
иногда обозначается
, (1.7) . (1.8) В справедливости
законов де Моргана легко убедиться
самостоятельно. В таблице 1.1
представлены основные свойства операций
над множествами. Таблица 1.1 Свойства
операций Объединение,
пересечение, дополнение коммутативность ,
ассоциативность дистрибутивность идемпотентность ,
теоремы
де
Моргана ,
инволюция Операции объединения
и пересечения можно обобщить. Пусть
Определение.
Семейство
подмножеств
, Определение.
Семейство
подмножеств
Определение.
Класс
K подмножеств из U называется алгеброй,
если: 1. 2. из
того, что
3. из
того, что
Пример.
Пусть
Определение.
Класс
F подмножеств из U образует
-алгебру,
если: 1. 2. из
того, что
3. из
того, что
Пример.
Множество
всех подмножеств U образует
-алгебру,
т.е.ℬ
(U)
–
-алгебра.
Множествами занимается специальный раздел математики теория множеств. Множество – одно из главных и фундаментальных понятий. Определения у него нет, но давайте попробуем понять, что же такое множество? Множество – это совокупность различных элементов, их можно посчитать, сгруппировать. Примерами множеств могут служить буквы алфавита – множество, состоящее из 33 элементов. Множество яблок на дереве – количество яблок на дереве, конечно и его можно посчитать и занумеровать. Примеров множеств можно придумать очень много. Попробуйте сами придумать какой-нибудь пример.
В математике множество обозначается в фигурных скобках {,}. Например, множество первых пяти букв английского алфавита обозначат вот так: {A,B,C,D,E}. Если записать это множество в другом порядке, оно не изменится.
Математика настолько интересный предмет, что у нас есть понятие пустого множества и бесконечного множества. Пустое множество – множество, в котором нет ни одного элемента, его обозначают без скобок и используют значок Ø. Бесконечное множество, наверняка понятно из названия – множество, в котором бесконечное количество элементов, например множество всех чисел.
Множества можно описать различными словами, например, {10, 12, 16, 18, ..., 96 ,98} – это множество четных двузначных чисел. Многоточие используется, когда элементов очень много и все их записать сложно, но при этом запись множества должна быть понятной, и чтобы по ней можно было определить, что это за множество.
$ \{x| -2
Для обозначения принадлежности элемента множеству используется специальный знак $ϵ$. Запись $2 ϵ \{2,4,6,8... \}$. Читается так: "Два принадлежит множеству четных чисел".
Некоторое множество состоит из корней уравнения $x^3+3x^2+2x=0$. Найдите элементы этого множества и перечислите все возможные варианты расположения элементов.
Давайте решим уравнение, вынесем х за скобки:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$
Давайте запишем возможные варианты расположения элементов:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.
Опишите данные множества.
Решение.
а) Множество натуральных чисел от 1 до 10.
б) Множество всех значений кубов натуральных чисел.
Решив неравенство, записать его решения в виде числового промежутка:
б) $\{x| 1/x
в) $\{x |x^2+7x+12
Решение.
а) $x^2+1>0$ больше нуля при всех х. Тогда числовой промежуток запишется в виде: $(-∞;+∞)$.
б) 1/x
в) $x^2+7x+12
Подмножество
Если из нашего множества выбрать несколько элементов и сгруппировать их отдельно – то это будет подмножество нашего множества. Комбинаций, из которых можно получить подмножество много, количество комбинаций лишь зависит от количества элементов в исходном множестве.
Пусть у нас есть два множества А и Б. Если каждый элемент множества Б является элементом множества А, то множество Б называется подмножеством А. Обозначается: Б ⊂ А.
Пример.
Сколько существует подмножеств множества А={1, 2, 3}.
Решение.
Подмножества состоя из элементов нашего множества. Тогда у нас существует 4 варианта по количеству элементов в подмножестве:
Подмножество может состоять из 1 элемента, из 2, 3 элементов и может быть пустым. Давайте последовательно запишем наши элементы.
Подмножество из 1 элемента: {1}, {2}, {3}.
Подмножество из 2 элементов: {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}.
Подмножество из 3 элементов: {1, 2, 3}.Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите множество решений уравнения: $2x^3+8x^2+6x=0$. Перечислите все возможные варианты расположения элементов.
2. Опишите множество:
$a) \{1, 3, 5, 7...99 \} \\b) \{1, 4, 7, 10, 13, 16 \} \\ c) \{5, 10, 15, 20 ... 995 \}$
3. Сколько существует подмножеств множества А={3, 4, 5, 6}.
для любого множества A, т.к. каждый элемент
из A есть элемент из A.
,
ибо если бы пустое множество не являлось
подмножеством A, то в пустом подмножестве
существовали бы элементы, не принадлежащие
A. Однако пустое множество не содержит
вообще ни одного элемента.
,
то пишут
,
и если
,
то A – собственное подмножество B.
,
которое включает в себя само множество
X, все его подмножества и пустое множество
.
– это множество, состоящее из трех
элементов. Тогда булеанℬ
(X)
это множество:Операции на множествах.
.
Тогда для множеств X,Y можно определить
операции
.
,
состоящее из элементов, входящих хотя
бы в одно из множеств (X или Y):
,
состоящее из элементов, входящих в X и
в Y одновременно:
,
состоящее из элементов, входящих в
множество X, но не входящих в Y:
Рис.
1.4
–
Симметрическая
,
состоящее из элементов множества X и
элементов множества Y, за исключением
элементов, являющихся общими для обоих
множеств:
дополнением множествадо U называется такое множество,
что:
.
.
Операции
связаны между собой законами де Моргана:
,
,
,
,
– множество индексов,
– семейство подмножеств множества X.
множества X, для которых
,
называетсяразбиением
множества
X, если выполняются следующие два условия:
множества X называетсяпокрытием
множества X, если:
.
;
следует, что
;
следует, что
.
,
тогда класс
образует алгебру.
;
следует
;
,
следует, что
.