Моделирование систем массового обслуживания. Из этого выражения можно определить среднее время простоя каналов. · К работе в компьютерном классе допускаются лица, ознакомленные с инструкцией по технике безопасности и правилам поведения

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://allbest.ru

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Системы массового обслуживания c отказами

1.2 Моделирование систем массового обслуживания

1.3 Простейшая СМО с отказами

1.4 Одноканальная СМО с отказами

1.5 Многоканальная СМО с отказами

1.6 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

1.7 Одноканальная СМО с неограниченной очередью

1.8 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди

1.9 Многоканальная СМО с неограниченной очередью

1.10 Алгоритм моделирования СМО

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ГЛАВА 3. ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

За последнее время в самых разных областях практики возникла необходимость в решении различных вероятностных задач, связанных с работой так называемых систем массового обслуживания (СМО).

Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, стоянки такси, парикмахерские и т.п.

Темой данного курсового проекта как раз и является решение подобной задачи.

Однако, в предложенной задаче будет исследована СМО, в которой рассматриваются 2 потока заявок, один из которых обладает приоритетом.

Также рассматриваемые процессы являются немарковскими, т.к. важен фактор времени.

Поэтому решение данной задачи построено не на аналитическом описании системы, а на статистическом моделировании.

Целью курсовой работы является моделирование производственного процесса на основе представления основного оборудования как системы массового обслуживания.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи: - Проанализировать особенности управления производственным процессом; - Рассмотреть организацию производственного процесса во времени; - Привести основные варианты сокращения длительности производственного цикла;

Провести анализ методов управления производственным процессом на предприятии;

Рассмотреть особенности моделирования производственного процесса с использованием теории СМО;

Разработать модель производственного процесса и оценить основные характеристики СМО, привести перспективы ее дальнейшей программной реализации.

Закрепления теоретических знаний и получения навыков их практического применения;

Отчет содержит введение, три главы, заключение, список использованной литературы, приложения.

Во второй главе рассматриваются теоретические материалы системы массового обслуживания. А в третьей вычисляем задачу систем массового обслуживания.

ГЛАВА 1 . ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Системы массового обслуживания c отказами

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок (требований), поступающих на нее в случайные моменты времени. Любое устройство, непосредственно занимающееся обслуживанием заявок, называется каналом обслуживания (или “прибором”). СМО бывают как одно-, так и многоканальными.

Различают СМО с отказами и СМО с очередью. В СМО с отказами заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО, а в дальнейшем в процессе ее работы не участвует. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент занятости всех каналов, не покидает СМО, а становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-либо канал. Число мест в очереди т может быть как ограниченным, так и неограниченным. При т=0 СМО с очередью превращается в СМО с отказами. Очередь может иметь ограничения не только по количеству стоящих в ней заявок (длине очереди), но и по времени ожидания (такие СМО называются “системами с нетерпеливыми клиентами”).

Аналитическое исследование СМО является наиболее простым, если все потоки событий, переводящие ее из состояния в состояние, - простейшие (стационарные пуассоновские). Это значит, что интервалы времени между событиями в потоках имеют показательное распределение с параметром, равным интенсивности соответствующего потока. Для СМО это допущение означает, что как поток заявок, так и поток обслуживания - простейшие. Под потоком обслуживания понимается поток заявок, обслуживаемых одна за другой одним непрерывно занятым каналом. Этот поток оказывается простейшим, только если время обслуживания заявки tобсл представляет собой случайную величину, имеющую показательное распределение. Параметр этого распределения м есть величина, обратная среднему времени обслуживания:

Вместо фразы “поток обслуживания - простейший” часто говорят “время обслуживания - показательное”. Всякая СМО, в которой все потоки простейшие, называется простейшей СМО.

Если все потоки событий простейшие, то процесс, протекающий в СМО, представляет собой марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. При выполнении некоторых условий для этого процесса существует финальный стационарный режим, при котором как вероятности состояний, так и другие характеристики процесса не зависят от времени.

Модели СМО удобны для описания отдельных подсистем современных вычислительных систем, таких как подсистема процессор - основная память, канал ввода-вывода и т. д.

Вычислительная система в целом представляет собой совокупность взаимосвязанных подсистем, взаимодействие которых носит вероятностный характер. Заявка на решение некоторой задачи, поступающая в вычислительную систему, проходит последовательность этапов счета, обращения к внешним запоминающим устройствам и устройствам ввода-вывода.

После выполнения некоторой последовательности таких этапов, число и продолжительность которых зависит от трудоемкости программы, заявка считается обслуженной и покидает вычислительную систему.

Таким образом, вычислительную систему в целом можно представлять совокупностью СМО, каждая из которых отображает процесс функционирования отдельного устройства или группы однотипных устройств, входящих в состав системы.

Задачи теории массового обслуживания - это нахождение вероят-ностей различных состояний СМО, а также установление зависимости между заданными параметрами (числом каналов п, интенсивностью потока заявок л, распределением времени обслуживания и т. д.) и характеристиками эффективности работы СМО. В качестве таких характеристик могут рассматриваться, например, следующие:

Среднее число заявок А, обслуживаемое СМО в единицу времени, или абсолютная пропускная способность СМО;

Вероятность обслуживания поступившей заявки Q или относительная пропускная способность СМО; Q = А/л;

Вероятность отказа Ротк, т.е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена и получит отказ; Ротк= 1 - Q;

Среднее число заявок в СМО (обслуживаемых или ожидающих в очереди) ;

Среднее число заявок в очереди;

Среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под обслуживанием) ;

Среднее время пребывания заявки в очереди;

Среднее число занятых каналов.

В общем случае все эти характеристики зависят от времени. Но многие СМО работают в неизменных условиях достаточно долгое время, и поэтому для них успевает установиться режим, близкий к стационарному.

Мы здесь повсюду, не оговаривая этого каждый раз специально, будем вычислять финальные вероятности состояний и финальные характеристики эффективности СМО, относящиеся к предельному стационарному режиму ее работы.

СМО называется открытой, если интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от состояния самой СМО.

Для любой открытой СМО в предельном стационарном режиме среднее время пребывания заявки в системе выражается через среднее число заявок в системе с помощью формулы Литтла:

где л - интенсивность потока заявок.

Аналогичная формула (называемая также формулой Литтла) связывает среднее время пребывания заявки в очереди и среднее число заявок в очереди:

Формулы Литтла очень полезны, так как позволяют вычислять не обе характеристики эффективности (среднее время пребывания и среднее число заявок), а только какую-нибудь одну из них.

Специально подчеркнем, что формулы (1) и (2) справедливы для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых видах потоков заявок и потоков обслуживания); единственное требование к потокам заявок и обслуживании - чтобы они были стационарными.

Аналогично универсальное значение для открытых СМО имеет формула, выражающая среднее число занятых каналов через абсолютную пропускную способность А:

где - интенсивность потока обслуживания.

Очень многие задачи теории массового обслуживания, касающиеся простейших СМО, решаются при помощи схемы гибели и размножения.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:

· среднее время обслуживания;

· среднее время ожидания в очереди;

· среднее время пребывания в СМО;

· средняя длина очереди;

· среднее число заявок в СМО;

· количество каналов обслуживания;

· интенсивность входного потока заявок;

· интенсивность обслуживания;

· интенсивность нагрузки;

· коэффициент нагрузки;

· относительная пропускная способность;

· абсолютная пропускная способность;

· доля времени простоя СМО;

· доля обслуженных заявок;

· доля потерянных заявок;

· среднее число занятых каналов;

· среднее число свободных каналов;

· коэффициент загрузки каналов;

· среднее время простоя каналов.

1 . 2 Моделирование систем массового обслуживания

Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под воздействием вполне определенных событий - поступления заявок и их обслуживания. Последовательность появления событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени, формирует так называемый поток событий. Примерами таких потоков в коммерческой деятельности являются потоки различной природы -- товаров, денег, документов, транспорта, клиентов, покупателей, телефонных звонков, переговоров. Поведение системы обычно определяется не одним, а сразу несколькими потоками событий. Например, обслуживание покупателей в магазине определяется потоком покупателей и потоком обслуживания; в этих потоках случайными являются моменты появления покупателей, время ожидания в очереди и время, затрачиваемое на обслуживание каждого покупателя.

При этом основной характерной чертой потоков является вероятностное распределение времени между соседними событиями. Существуют различные потоки, которые отличаются своими характеристиками.

Поток событий называется регулярным, если в нем события следуют одно за другим через заранее заданные и строго определенные промежутки времени. Такой поток является идеальным и очень редко встречается на практике. Чаще встречаются нерегулярные потоки, не обладающие свойством регулярности.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания любого числа событий на промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от того, как далеко расположен этот промежуток от начала отсчета времени. Стационарность потока означает независимость от времени его вероятностных характеристик, в частности, интенсивность такого потока есть среднее число событий в единицу времени и остается величиной постоянной. На практике обычно потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени. Обычно поток покупателей, например, в магазине существенно меняется в течение рабочего дня. Однако можно выделить определенные временные интервалы, внутри которых этот поток допустимо рассматривать как стационарный, имеющий постоянную интенсивность.

Поток событий называется потоком без последствия, если число событий, попадающих на один из произвольно выбранных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток, при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой. В потоке без последствия события появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток покупателей, входящих в магазин, можно считать потоком без последствия потому, что причины, обусловившие приход каждого из них, не связаны с аналогичными причинами для других покупателей.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на очень малый отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события. В ординарном потоке события происходят поодиночке, а не по два или более разу. Если поток одновременно обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия, то такой поток называется простейшим (или пуассоновским) потоком событий. Математическое описание воздействия такого потока на системы оказывается наиболее простым. Поэтому, в частности, простейший поток играет среди других существующих потоков особую роль.

Рассмотрим на оси времени некоторый промежуток времени t. Допустим, вероятность попадания случайного события на этот промежуток p, а полное число возможных событий -- п. При наличии свойства ординарности потока событий вероятность р должна быть достаточно малой величиной, а я -- достаточно большим числом, поскольку рассматриваются массовые явления.

В этих условиях для вычисления вероятности попадания на промежуток времени t некоторого числа событий т можно воспользоваться формулой Пуассона:

Pm, n= am_e-a ; (m=0,n),

где величина а = пр - среднее число событий, попадающих на промежуток времени t, которое можно определить через интенсивность потока событий X следующим образом: a= л ф

Размерность интенсивности потока X есть среднее число событий в единицу времени. Между п и л, р и ф имеется следующая связь:

n= л t; p= ф/t

где t- весь промежуток времени, на котором рассматривается действие потока событий.

Необходимо определить распределение интервала времени Т между событиями в таком потоке. Поскольку это случайная величина, найдем ее функцию распределения. Как известно из теории вероятностей, интегральная функция распределения F(t) есть вероятность того, что величина T будет меньше времени t.

F(t)=P(T

По условию в течение времени T не должно произойти ни одного события, а на интервале времени t должно появиться хотя бы одно событие. Эта вероятность вычисляется с помощью вероятности противоположного события на промежутке времени (0; t), куда не попало ни одного события, т.е. m = 0, тогда

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t?0

Для малых?t можно получить приближенную формулу, получаемую заменой функции e-Xt, только двумя членами разложения в ряд по степеням?t, тогда вероятность попадания на малый промежуток времени?t хотя бы одного события составляет

P(T

Плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями получим, продифференцировав F(t) по времени,

f(t)= л e- л t ,t?0

Пользуясь полученной функцией плотности распределения, можно получить числовые характеристики случайной величины Т: математическое ожидание М (Т), дисперсию D(T) и среднее квадратическое отклонение у(Т).

М(Т)= л??0 t*e-лt*dt=1/ л; D(T)=1/ л2 ; у(T)=1/ л.

Отсюда можно сделать следующий вывод: средний интервал времени Т между любыми двумя соседними событиями в простейшем потоке в среднем равен 1/л, и его среднее квадратическое отклонение также равно 1/л, л где, -- интенсивность потока, т.е. среднее число событий, происходящих в единицу времени. Закон распределения случайной величины, обладающей такими свойствами М(Т) = Т, называется показательным (или экспоненциальным), а величина л, является параметром этого показательного закона. Таким образом, для простейшего потока математическое ожидание интервала времени между соседними событиями равно его среднеквадратическому отклонению. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступающих на обслуживание за промежуток времени t, равно к, определяется по закону Пуассона:

Pk(t)=(лt)k/ k! *e-л t,

где л - интенсивность поступления потока заявок, среднее число событий в СМО за единицу времени, например[чел/мин; руб./час; чеков/час; докум./день; кг./час; т./год] .

Для такого потока заявок время между двумя соседними заявками Т распределено экспоненциально с плотностью вероятности:

ѓ(t)= л e-л t.

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания t тоже можно считать распределенным экспоненциально:

? (tоч)=V*e-v tоч,

где v -- интенсивность потока прохода очереди, определяемая средним числом заявок, проходящих на обслуживание в единицу времени:

v=1/Точ,

где Точ среднее время ожидания обслуживания в очереди.

Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания tобс является тоже случайной величиной и подчиняется во многих случаях показательному закону распределения с плотностью вероятности:

?(t обс)=µ*е µ t обс,

где µ - интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

µ=1/ t обс[чел/мин; руб./час; чеков/час; докум./день; кг./час; т./год] ,

где t обс - среднее время обслуживания заявок.

Важной характеристикой СМО, объединяющей показатели л и µ , является интенсивность нагрузки: с= л/ µ, которая показывает степень согласования входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Кроме понятия простейшего потока событий часто приходится пользоваться понятиями потоков других типов. Поток событий называется потоком Пальма, когда в этом потоке промежутки времени между последовательными событиями T1, T2, ..., Тk ..., Тn являются независимыми, одинаково распределенными, случайными величинами, нов отличие от простейшего потока не обязательно распределенными по показательному закону. Простейший поток является частным случаем потока Пальма.

Важным частным случаем потока Пальма является так называемый поток Эрланга.

Этот поток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание» производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего потока.

Например, условившись учитывать только каждое второе событие из образующих простейший поток, мы получим поток Эрланга второго порядка. Если брать только каждое третье событие, то образуется поток Эрланга третьего порядка и т.д.

Можно получить потоки Эрланга любого к-го порядка. Очевидно, простейший поток есть поток Эрланга первого порядка.

Любое исследование системы массового обслуживания начинается с изучения того, что необходимо обслуживать, следовательно, с изучения входящего потока заявок и его характеристик.

Поскольку моменты времени t и интервалы времени поступления заявок ф, затем продолжительность операций обслуживания t обс и время ожидания в очереди tоч, а также длина очереди lоч -- случайные величины, то, следовательно, характеристики состояния СМО носят вероятностный характер, а для их описания следует применять методы и модели теории массового обслуживания.

Перечисленные выше характеристики к, ф, л, Lоч, Точ, v, tобс, µ, р, Рk являются наиболее общими для СМО, которые являются обычно лишь некоторой частью целевой функции, поскольку необходимо учитывать еще и показатели коммерческой деятельности.

1 . 3 Простейшая СМО с отказами

На n-канальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью л; время обслуживания - показательное с параметром. Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся в СМО (в силу отсутствия очереди оно совпадает с числом занятых каналов):

S0 - СМО свободна;

S1 - занят один канал, остальные свободны;

...;

Sk - занятоk каналов, остальные свободны (1k n );

…;

Sn - заняты все n каналов.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами Эрланга:

где с=л/м.

Характеристики эффективности:

A=(1-pn ); Q = 1-pn ; Pотк= pn ; =(1-pn ).

При больших значениях п вероятности состояний (1*) удобно вычислять через табулированные функции:

(распределение Пуассона) и

,

из которых первую можно выразить через вторую:

Пользуясь этими функциями, формулы Эрланга (1*) можно переписать в виде

.

1.4 Одноканальная СМО с отказами

Проведем анализ простой одноканальной СМО с отказами в обслуживании, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью л, а обслуживание происходит под действием пуассоновского потока с интенсивностью м.

Работу одноканальной СМО n=1 можно представить в виде размеченного графа состояний (3.1).

Переходы СМО из одного состояния S0 в другое S1 происходят под действием входного потока заявок с интенсивностью л, а обратный переход - под действием потока обслуживания с интенсивностью м.

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояния по изложенным выше правилам:

Откуда получим дифференциальное уравнение для определения вероятности р0(t) состояния S0:

Это уравнение можно решить при начальных условиях в предположении, что система в момент t=0 находилась в состоянии S0, тогда р0(0)=1, р1(0)=0.

В этом случае решение дифференциального уравнения позволяет определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием:

Тогда нетрудно получить выражение для вероятности определения вероятности занятости канала:

Вероятность р0(t) уменьшается с течением времени и в пределе при t>? стремится к величине

а вероятность р1(t) в то же время увеличивается от 0, стремясь в пределе при t>? к величине

Эти пределы вероятностей могут быть получены непосредственно из уравнений Колмогорова при условии

Функции р0(t) и р1(t) определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени характерной для рассматриваемой системы.

С достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равно 3ф.

Вероятность р0(t) определяет относительную пропускную способность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступающих заявок, в единицу времени.

Действительно, р0(t) есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет принята к обслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем л заявок и из них обслуживается лр0 заявок.

Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определятся величиной

В пределе при t>? практически уже при t>3ф значение относительной пропускной способности будет равно

Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени в пределе при t>?, равна:

Соответственно доля заявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях:

а общее число не обслуженных заявок равно

Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерская автотранспортного предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.

1.5 Многоканальная СМО с отказами

В коммерческой деятельности примерами многоканальных СМО являются офисы коммерческих предприятий с несколькими телефонными каналами, бесплатная справочная служба по наличию в авто магазинах самых дешевых автомобилей в Москве имеет 7 телефонных номеров, а дозвониться и получить справку, как известно, очень трудно.

Следовательно, авто магазины теряют клиентов, возможность увеличить количество проданных автомобилей и выручку от продаж, товарооборот, прибыль.

Туристические фирмы по продаже путевок имеют два, три, четыре и более каналов, как, например, фирма Express-Line.

Рассмотрим многоканальную СМО с отказами в обслуживании на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью л.

Поток обслуживания в каждом канале имеет интенсивность м. По числу заявок СМО определяются ее состояния Sk, представленные в виде размеченного графа:

S0 - все каналы свободны k=0,

S1 - занят только один канал, k=1,

S2 - заняты только два канала, k=2,

Sk - заняты k каналов,

Sn - заняты все n каналов, k= n.

Состояния многоканальной СМО меняются скачкообразно в случайные моменты времени. Переход из одного состояния, например S0 в S1, происходит под воздействием входного потока заявок с интенсивностью л, а обратно - под воздействием потока обслуживания заявок с интенсивностью м.

Для перехода системы из состояния Skв Sk-1 безразлично, какой именно из каналов освободиться, поэтому поток событий, переводящий СМО, имеет интенсивность kм, следовательно, поток событий, переводящий систему из Snв Sn-1, имеет интенсивность nм.

Так формулируется классическая задача Эрланга, названная по имени датского инженера - математика- основателя теории массового обслуживания.

Случайный процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса «рождения- гибели» и описывается системой дифференциальных уравнений Эрланга, которые позволяют получить выражения для предельных вероятностей состояния рассматриваемой системы, называемые формулами Эрланга:

.

Вычислив все вероятности состояний n - канальной СМО с отказами р0 , р1, р2, …,рk,…, рn, можно найти характеристики системы обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что поступившая заявка на обслуживание найдет все n каналов занятыми, система будет находиться в состоянии Sn:

k=n.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

Ротк+Робс=1

На этом основании относительная пропускная способность определяется по формуле

Q = Pобс= 1-Ротк=1-Рn

Абсолютную пропускную способность СМО можно определить по формуле

А=л*Робс

Вероятность обслуживания, или доля обслуженных заявок, определяет относительную пропускную способность СМО, которая может быть определена и по другой формуле:

Из этого выражения можно определить среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, или, что же самое, среднее число занятых обслуживанием каналов

Коэффициент занятости каналов обслуживанием определятся отношением среднего числа занятых каналов к их общему числу

Вероятность занятости каналов обслуживанием, которая учитывает среднее время занятости tзан и простоя tпр каналов, определяется следующим образом:

Из этого выражения можно определить среднее время простоя каналов

Среднее время пребывания заявки в системе в установившемся режиме определятся формулой Литтла

Тсмо= nз/л.

1.6 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

В коммерческой деятельности чаще встречаются СМО с ожиданием (очередью).

Рассмотрим простую одноканальную СМО с ограниченной очередью, в которой число мест в очереди т - фиксированная величина. Следовательно, заявка, поступившая в тот момент, когда все места в очереди заняты, не принимается к обслуживанию, не встает в очередь и.покидает систему.

Граф этой СМО представлен на рис. 3.4 и совпадает с графом рис. 2.1 описывающим процесс «рождения--гибели», с тем отличием, что при наличии только одного канала.

Размеченный граф процесса «рождения - гибели» обслуживания все интенсивности потоков обслуживания равны

Состояния СМО можно представить следующим образом:

S0 - канал обслуживания свободен,

S, - канал обслуживания занят, но очереди нет,

S2- канал обслуживания занят, в очереди стоит одна заявка,

S3- канал обслуживания занят, в очереди стоят две заявки,

Sm+1 - канал обслуживания занят, в очереди все т мест заняты, любая следующая заявка получает отказ.

Для описания случайного процесса СМО можно воспользоваться изложенными ранее правилами и формулами. Напишем выражения, определяющие предельные вероятности состояний:

Выражение для р0 можно в данном случае записать проще, пользуясь тем, что в знаменателе стоит геометрическая прогрессия относительно р, тогда после соответствующих преобразований получаем:

с= (1- с )

Эта формула справедлива для всех р, отличных от 1, если же р = 1, то р0 = 1/(т + 2), а все остальные вероятности также равны 1/(т + 2).

Если предположить т = 0, то мы переходим от рассмотрения одноканальной СМО с ожиданием к уже рассмотренной одноканальной СМО с отказами в обслуживании.

Действительно, выражение для предельной вероятности р0в случае т = 0 имеет вид:

pо = м / (л+м)

И в случае л =м имеет величину р0= 1 / 2.

Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием: относительную и абсолютную пропускную способность, вероятность отказа, а также среднюю длину очереди и среднее время ожидания заявки в очереди.

Заявка получает отказ, если она поступает в момент времени, когда СМО уже находится в состоянии Sm+1 и, следовательно, все места в очереди да заняты и один канал обслуживает

Поэтому вероятность отказа определяется вероятностью появлением

Состояния Sm+1:

Pотк = pm+1 = сm+1 * p0

Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени, определяется выражением

Q = 1- pотк = 1- сm+1 * p0

абсолютная пропускная способность равна:

Среднее число заявок Lочстоящих в очереди на обслуживание, определяется математическим ожиданием случайной величины к - числа заявок, стоящих в очереди

случайная величина к принимает следующие только целочисленные значения:

1 - в очереди стоит одна заявка,

2 - в очереди две заявки,

т-в очереди все места заняты

Вероятности этих значений определяются соответствующими вероятностями состояний, начиная с состояния S2. Закон распределения дискретной случайной величины к изображается следующим образом:

Таблица 1. Закон распределения дискретной случайной величины

Математическое ожидание этой случайной величины равно:

Lоч = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

В общем случае при p ?1 эту сумму можно преобразовать, пользуясь моделями геометрической прогрессии, к более удобному виду:

Lоч = p2 * 1- pm * (m-m*p+1) * p0

В частном случае при р = 1, когда все вероятности pkоказываются равными, можно воспользоваться выражением для суммы членов числового ряда

1+2+3+ m = m (m +1)

Тогда получим формулу

L"оч= m(m+1) * p0 = m(m+1) (p=1).

Применяя аналогичные рассуждения и преобразования, можно показать, что среднее время ожидания обслуживания заявки а очереди определяется формулами Литтла

Точ = Lоч/А (при р? 1) и Т1оч= L"оч /А(при р = 1).

Такой результат, когда оказывается, что Точ ~ 1/ л, может показаться странным: с увеличением интенсивности потока заявок как будто бы должна возрастать длина очереди и уменьшается среднее время ожидания. Однако следует иметь в виду, что, во-первых, величина Lоч является функцией от л и м и, во-вторых, рассматриваемая СМО имеет ограниченную длину очереди не более mзаявок.

Заявка, поступившая в СМО в момент времени, когда все каналы заняты, получает отказ, и, следовательно, время ее «ожидания» в СМО равно нулю. Это приводит в общем случае (при р? 1) к уменьшению Точростом л, поскольку доля таких заявок с ростом л увеличивается.

Если отказаться от ограничения на длину очереди, т.е. устремить m--> >?, то случаи р < 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

При достаточно большом к вероятностьpk стремится к нулю. Поэтому относительная пропускная способность будет Q= 1, а абсолютная пропускная способность станет равной А --л Q -- л следовательно, обслуживаются все поступившие заявки, причем средняя длина очереди окажется равной:

Lоч =p 2 1-p

а среднее время ожидания по формуле Литтла

Точ = Lоч/А

В пределе р << 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t > ?). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки.

Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем с и м, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

В качестве одной из характеристик СМО используют среднее время Тсмо пребывания заявки в СМО, включающее среднее время пребывания в очереди и среднее время обслуживания. Эта величина вычисляется по формулам Литтла: если длина очереди ограничена -- среднее число заявок, находящихся в очереди, равно:

Lсмо= m +1 ;2

Тсмо= L смо; при p ?1

A тогда среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания (как в очереди, так и под обслуживанием) равно:

Тсмо= m +1 при p ?1 2м

1.7 Одноканальная СМО с неограниченной очередью

В коммерческой деятельности в качестве одноканальной СМО с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнять обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, милиции, товароведами, маркетологами, поставщиками продукции и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы. марковский отказ обслуживание модель

В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу).

Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих товары.

Если количество товаров, предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем СМО с ожиданием.

Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью л и интенсивностью обслуживания?.

Причем заявка, поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь и ожидает обслуживания.

Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис. 3.5

Количество возможных состояний ее бесконечно:

Канал свободен, очереди нет, ;

Канал занят обслуживанием, очереди нет, ;

Канал занят, одна заявка в очереди, ;

Канал занят, заявка в очереди.

Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выделенных для СМО с неограниченной очередью, путем перехода к пределу при m>?:

Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле

имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем.

Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при.

Эта сумма сходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при, что определяет установившийся режим работы СМО, с при очередь при с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому, следовательно, относительная пропускная способность, соответственно, а абсолютная пропускная способность

Вероятность пребывания в очереди k заявок равна:

Среднее число заявок в очереди -

Среднее число заявок в системе -

Среднее время пребывания заявки в системе -

Среднее время пребывания заявки с системе -

Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания, то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при.

1.8 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди

Рассмотрим многоканальную СМО, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью, а интенсивность обслуживания каждого канала составляет, максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной m. Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать.

Все каналы свободны, ;

Занят только один канал (любой), ;

Заняты только два канала (любых), ;

Заняты все каналов, .

Пока СМО находится в любом из этих состояний, очереди нет. После того как заняты все каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым, определяя дальнейшие состояние системы:

Заняты все каналов и одна заявка стоит в очереди,

Заняты все каналов и две заявки стоят в очереди,

Заняты все каналов и все мест в очереди,

Переход СМО в состояние с большими номерами определяется потоком поступающих заявок с интенсивностью, тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания равного для каждого канала. При этом полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния, когда все n каналов окажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания более увеличивается, так как она уже достигла максимального значения, равного.

Запишем выражения для предельных вероятностей состояний:

Выражение для можно преобразовать, используя формулу геометрической прогрессии для суммы членов со знаменателем:

Образование очереди возможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее требований, т.е. когда в системе будет находиться требований.

Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме соответствующих вероятностей

Поэтому вероятность образования очереди равна:

Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все каналов и все мест в очереди заняты:

Относительная пропускная способность будет равна:

Абсолютная пропускная способность -

Среднее число занятых каналов -

Среднее число простаивающих каналов -

Коэффициент занятости (использования) каналов -

Коэффициент простоя каналов -

Среднее число заявок, находящихся в очередях -

В случае если, эта формула принимает другой вид -

Среднее время ожидания в очереди определяется формулами Литтла -

Среднее время пребывания заявки в СМО, как и для одноканальной СМО, больше среднего времени ожидания в очереди на среднее время обслуживания, равное, поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:

1.9 Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим многоканальную СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди, на которую поступает поток заявок с интенсивностью и которая имеет интенсивность обслуживания каждого канала.

Размеченный граф состояний представлен на рис 3.7 Он имеет бесконечное число состояний:

S - все каналы свободны, k=0;

S - занят один канал, остальные свободны, k=1;

S - заняты два канала, остальные свободны, k=2;

S - заняты все n каналов, k=n, очереди нет;

S - заняты все n каналов, одна заявка в очереди, k=n+1,

S - заняты все n каналов, r заявок в очереди, k=n+r,

Вероятности состояний получим из формул для многоканальной СМО с ограниченной очередью при переходе к пределу при m.

Следует заметить, что сумма геометрической прогрессии в выражении для p расходится при уровне загрузки p/n>1, очередь будет бесконечно возрастать, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Очереди нет

Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности равны:

среднее число заявок в очереди -

среднее время ожидания в очереди -

среднее число заявок в СМО -

Вероятность того, что СМО находится в состоянии, когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением

Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания. Вероятность занятости обслуживанием k заявок -

На этом основании можно определить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием

Если же все каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением

Вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием

Среднее число заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно:

Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла:

и в системе

среднее число занятых каналов обслуживанием:

среднее число свободных каналов:

коэффициент занятости каналов обслуживанием:

Важно заметить, что параметр характеризует степень согласования входного потока, например покупателей в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при Если же в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.

1.10 Алгоритм моделирования СМО

Рассматриваемая в задаче СМО представляет собой СМО с:

Двухканальным обслуживанием;

Двухканальным входным потоком (имеет 2 входа, на один из которых поступают случайный поток Заявок I, на другой вход - поток Заявок II).

Определение времен поступления и обслуживания заявок:

· Времена поступления и обслуживания заявок генерируются случайно с заданным показательным законом распределения;

· Интенсивности поступления и обслуживания заявок заданы;

Функционирование рассматриваемой СМО:

Каждый канал обслуживает в каждый момент времени одну заявку;

Если в момент поступления новой заявки свободен хотя бы один канал, то пришедшая заявка поступает на обслуживание;

Если отсутствуют Заявки то система простаивает.

Дисциплина обслуживания:

Приоритет Заявок I: если система занята (оба канала обслуживают заявки), причем один из каналов занят Заявкой II, Заявка I вытесняют Заявку II; Заявка II покидает систему необслуженной;

Если к моменту поступления Заявки II оба канала заняты, Заявка II не обслуживается;

Если к моменту поступления Заявки I оба канала обслуживают Заявки I, поступившая Заявка I покидает систему необслуженной;

Задача моделирования:зная параметры входных потоков заявок промоделировать поведение системы и вычислить её основные характеристики её эффективности. Меняя величину Т от меньших значений до больших (интервал времени, в течении которого происходит случайный процесс поступления заявок 1-го и 2-го потока в СМО на обслуживание), можно найти изменения критерия эффективности функционирования и выбрать оптимальный.

Критерии эффективности функционирования СМО:

· Вероятность отказа;

· Относительная пропускная способность;

· Абсолютная пропускная способность;

Принцип моделирования:

Вводим начальные условия: общее время работы системы, значения интенсивностей потоков заявок; число реализаций работы системы;

Генерируем моменты времени, в которые прибывают заявки, последовательность прихода Заявок I Заявок II, время обслуживания каждой пришедшей заявки;

Считаем сколько заявок было обслужено, а сколько получило отказ;

Рассчитываем критерий эффективности СМО;

ГЛАВА 2 . ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Рисунок 1. Зависимость ОПСС от времени

PROGRAM CAN_SMO;

CHANNAL = (FREE, CLAIM1, CLAIM2);

INTENSITY = word;

STATISTICS = word;

CHANNAL1, CHANNAL2: CHANNAL;{Каналы }

T_, t, tc1, tc2: TIME; {Время}

l1, l2, n1, n2: INTENSITY;{Интенсивности }

served1, not_served1,

served2, not_served2,

S: STATISTICS; {Статистика}

M,N:INTEGER;{число реализаций}

FUNCTION W(t: TIME; l: INTENSITY) : boolean;{Определяет появилась ли заявка}

Begin {по интенсивности потока l}

if random < l/60 then W:= TRUE else W:= FALSE;

FUNCTION F(t: TIME; n: INTENSITY) : TIME;{Определяет сколько будет обрабатываться заявка}

Begin {по интенсивности обслуживания заявок n}

F:= t +round(60/(n));

Рисунок 2. Зависимость ОППС от времени

WRITELN("ВВЕДИТЕ ЧИСЛО РЕАЛИЗАЦИЙ РАБОТЫ СМО");

writeln(M, "-ая реализация");

CHANNAL1:= FREE; CHANNAL2:= FREE;

l1:= 3; l2:= 1; n1:= 2; n2:= 1;

served1:= 0; not_served1:= 0;

served2:= 0; not_served2:= 0;

write("Введите время исследования СМО - Т: "); readln(_T_);

if CHANNAL1 = CLAIM1 then inc(served1) else inc(served2);

CHANNAL1:= FREE;

writeln("Канал1 выполнил заявку");

if CHANNAL2 = CLAIM1 then inc(served1) else inc(served2);

CHANNAL2:= FREE;

writeln("Канал2 выполнил заявку");

Рисунок 3. График зависимости вероятности отказа в системе от времени

writeln("Поступила заявка1");

if CHANNAL1 = FREE then

begin CHANNAL1:= CLAIM1; tc1:= F(t,n1); writeln("Канал1 принял заявку1"); end

else if CHANNAL2 = FREE then

begin CHANNAL2:= CLAIM1; tc2:= F(t,n1); writeln("Канал2 принял заявку1"); end

else if CHANNAL1 = CLAIM2 then

begin CHANNAL1:= CLAIM1; tc1:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln("Канал1 принял заявку1 вместо заявки2"); end

else if CHANNAL2 = CLAIM2 then

begin CHANNAL2:= CLAIM1; tc2:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln("Канал2 принял заявку1 вместо заявки2"); end

else begin inc(not_served1); writeln("заявка1 не обслужена"); end;

Рисунок 4. Зависимость числа заявок от времени

writeln("Поступила заявка2");

if CHANNAL1 = FREE then

begin CHANNAL1:= CLAIM2; tc1:= F(t,n2); writeln("Канал1 принял заявку2");end

else if CHANNAL2 = FREE then

begin CHANNAL2:= CLAIM2; tc2:= F(t,n2); writeln("Канал2 принял заявку2");end

else begin inc(not_served2); writeln("заявка2 не обслужена"); end;

S:= served1 + not_served1 + served2 + not_served2;

writeln("время работы СМО ",_T_);

writeln("обслужено каналом1: " ,served1);

writeln("обслужено каналом2: ",served2);

writeln("Поступило заявок: ",S);

writeln("Обслужено заявок: ",served1+served2);

writeln("Не обслужено заявок: ",not_served1+not_served2);

{writeln("Интенсивность поступления заявок в систему: ",(served1+served2)/_T_:2:3);}

writeln("Абсолютная пропускная способность системы: ",(served1+served2)/T:2:3);

writeln("Вероятность отказа: ",(not_served1+not_served2)/S*100:2:1,"%");

writeln("Относительная пропускная способность системы: ",(served1+served2)/S:2:3);

writeln("моделирование закончено");

Таблица 2. Результаты работы СМО

Характеристики работы СМО

Время работы СМО

Поступило заявок

Обслужено заявок

Не обслужено заявок

Абсолютная пропускная способность системы

Относительная пропускная способность системы

ГЛАВА 3. ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

Общее положения

· К работе в компьютерном классе допускаются лица, ознакомленные с инструкцией по технике безопасности и правилам поведения.

· В случае нарушения инструкции студент отстраняется от работы и допускается к занятию только по письменному разрешению преподавателя.

· Работа студентов в компьютерном классе разрешается только в присутствии преподавателя (инженера, лаборанта).

· Помните, что каждый студент в ответе за состояние своего рабочего места и сохранность размещенного на нем оборудования.

Перед началом работы:

· Перед началом работы следует убедиться в отсутствии видимых повреждений аппаратуры и проводов. Компьютеры и периферийные устройства должны находиться на столах в устойчивом положении.

· Учащимся категорически запрещается проникать внутрь устройств. Включать устройства можно только по разрешению преподавателя.

При работе в компьютерном классе запрещается:

1. Входить и выходить из класса без разрешения учителя.

2. Опаздывать на урок.

3. Входить в класс в грязной и мокрой обуви, пыльной одежде, в холодное время года в верхней одежде.

4. Работать на компьютере влажными руками.

5. Класть на рабочее место посторонние предметы.

6. Вставать во время работы, поворачиваться по сторонам, разговаривать с соседом.

7. Включать и выключать аппаратуру без разрешения учителя.

8. Нарушать порядок включения и выключения аппаратуры.

9. Трогать клавиатуру и мышь при выключенном компьютере, передвигать мебель и аппаратуру.

10. Трогать экран дисплея, кабели, соединительные провода, разъёмы, вилки и розетки.

11. Подходить к рабочему месту учителя без разрешения

Главная угроза для здоровья человека при работе с ПК - это угроза поражения электрическим током. Поэтому запрещается:

1. Работать на аппаратуре, имеющей видимые дефекты. Открывать системный блок.

2. Присоединять или отсоединять кабели, трогать разъемы соединительных кабелей, провода и розетки, устройствам заземления.

3. Прикасаться к экрану и к тыльной стороне монитора, клавиатуры.

4. Пытаться самостоятельно устранять неисправности в работе аппаратуры.

5. Работать во влажной одежде и влажными руками

6. Выполнять требования преподавателя и лаборанта; Соблюдать тишину и порядок;

7. Находясь в сети работать только под своим именем и паролем;

8. Соблюдать режим работы (согласно Санитарных правил и норм);

9. Начало и окончание работы производить только по разрешению преподавателя.

10. При резком ухудшении самочувствия (появлении рези в глазах, резком ухудшении видимости, невозможности сфокусировать взгляд или навести его на резкость, появления боли в пальцах и кистях рук, усиления сердцебиения) немедленно покинуть рабочее место, сообщить о происшедшем преподавателю и обратиться к врачу;

11. Соблюдать чистоту рабочего места.

12. Окончание работы произвести по разрешению преподавателя.

13. Сдать выполненную работу.

14. Завершить все активные программы и корректно выключить компьютер.

15. Привести рабочее место в порядок.

16. Дежурному проверить готовность кабинета к следующему занятию.

При эксплуатации оборудования необходимо остерегаться: - поражения электрическим током;

- механических повреждений, травм

При возникновении аварийных ситуаций:

1. При обнаружения искрения, появлении запаха гари или обнаружения иных неполадках следует немедленно прекратить работу и сообщить об этом учителю.

2. При поражении кого-либо электротоком необходимо: прекратить работу и отойти на безопасное расстояние; отключить напряжение (на распределительном щитке кабинета); сообщить учителю; приступить к оказанию первой помощи и вызвать врача.

3. При пожаре необходимо: прекратить работу и начать эвакуацию; сообщить учителю и вызвать пожарную охрану (по тел. 01); отключить напряжение (на распределительном щитке кабинета); приступить к тушению пожара огнетушителем (водой тушить запрещается.

Подобные документы

Математическая теория массового обслуживания как раздел теории случайных процессов. Системы массового обслуживания заявок, поступающих через промежутки времени. Открытая марковская сеть, ее немарковский случай, нахождение стационарных вероятностей.

курсовая работа , добавлен 07.09.2009


Понятие системы массового обслуживания, ее сущность и особенности. Теория массового обслуживания как один из разделов теории вероятностей, рассматриваемые вопросы. Понятие и характеристика случайного процесса, его виды и модели. Обслуживание с ожиданием.

курсовая работа , добавлен 15.02.2009


Оптимизация управления потоком заявок в сетях массового обслуживания. Методы установления зависимостей между характером требований, числом каналов обслуживания, их производительностью и эффективностью. Теория графов; уравнение Колмогoрова, потоки событий.

контрольная работа , добавлен 01.07.2015


Теория массового обслуживания – область прикладной математики, анализирующая процессы в системах производства, в которых однородные события повторяются многократно. Определение параметров системы массового обслуживания при неизменных характеристиках.

курсовая работа , добавлен 08.01.2009


Определение случайного процесса и его характеристики. Основные понятия теории массового обслуживания. Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний. Процессы гибели и размножения.

реферат , добавлен 08.01.2013


Стационарное распределение вероятностей. Построение математических моделей, графов переходов. Получение уравнения равновесия систем массового обслуживания с различным числом приборов, требованиями различных типов и ограниченными очередями на приборах.

дипломная работа , добавлен 23.12.2012


Анализ эффективности простейших систем массового обслуживания, расчет их технических и экономических показателей. Сравнение эффективности системы с отказами с соответствующей смешанной системой. Преимущества перехода к системе со смешанными свойствами.

курсовая работа , добавлен 25.02.2012


Составление имитационной модели и расчет показателей эффективности системы массового обслуживания по заданны параметрам. Сравнение показателей эффективности с полученными путем численного решения уравнений Колмогорова для вероятностей состояний системы.

курсовая работа , добавлен 17.12.2009


Примеры процессов размножения и гибели в случае простейших систем массового обслуживания. Математическое ожидание для системы массового обслуживания. Дополнительный поток и бесконечное число приборов. Система с ограничением на время пребывания заявки.

курсовая работа , добавлен 26.01.2014


Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. Организация обслуживания при ограниченной информации о надёжности системы. Алгоритмы безотказной работы системы и нахождение времени плановой предупредительной профилактики систем.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1.1 Общие понятие теории массового обслуживания

1.2 Моделирование систем массового обслуживания

1.3 Графы состояний СМО

1.4 Случайные процессы

Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

2.1 Уравнения Колмогорова

2.2 Процессы «рождения – гибели»

2.3 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания

Глава III. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

3.1 Одноканальная СМО с отказами в обслуживании

3.2 Многоканальная СМО с отказами в обслуживании

3.3 Модель многофазной системы обслуживания туристов

3.4 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

3.5 Одноканальная СМО с неограниченной очередью

3.6 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди

3.7 Многоканальная СМО с неограниченной очередью

3.8 Анализ системы массового обслуживания супермаркета

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение

В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.К. Эрланга(1878-1929),с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.

Теория массового обслуживания - область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.

В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий управленческих решений.

Глава I . Постановка задач массового обслуживание

1.1 Общие понятие теории массового обслуживания

Природа массового обслуживания, в различных сферах, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения, например товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме таких основных операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время выполнения которых носит также случайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождает недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, или водителей автомобилей на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции для целей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности.

Кроме того, возникают другие задачи, связанные с созданием, организацией и планированием нового экономичного, рационального варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всех звеньев обслуживания ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отдела кадров и др.

Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, например обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.

Перечисленные задачи можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданной для этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а операции обслуживания выполняются кем-либо или чем-либо, называемыми каналами (узлами) обслуживания. Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания - продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом - выступает в роли заявки на обслуживание, например к заведующему производством за получением товара.

Заявки в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания - СМО.

Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и. целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономист та, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность интервала времени, требуемого для реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера запроса заявки на обслуживание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

Действительно, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой - от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания. Например, овладение кассирами-контролерами работы «слепым» методом на кассовом аппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе более чем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в супермаркете дает ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то при введении единого узла расчета - 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупки в секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретении двух покупок в 1,4 раза, трех - в 1,9, пяти - в 2,9 раза.

Под обслуживанием заявок будем понимать процесс удовлетворения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако, во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом, в некоторых - группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях - техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей системой.

В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания,- выходящим потоком.

Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют системы, реализующие многократное выполнение однотипных задач. Такие системы называются системами массового обслуживания (СМО). Примерами СМО являются: банки различных типов, страховые организации, налоговые инспекции, аудиторские службы, различные системы связи, погрузочно-разгрузочные комплексы, автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания.

3.1.1 Общие сведения о системах массового обслуживания

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное, которое зависит от многих случайных, порой неизвестных нам, причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приёму следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО. В некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же другие интервалы времени при свободных каналах (устройствах обслуживания) на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию её каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо «становятся» в очередь, либо по какой-то причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

На рис 3.1 изображена схема СМО.

Основными элементами (признаками) систем массового обслуживания являются:

Обслуживающий узел (блок),

Поток заявок,

Очередь в ожидании обслуживания (дисциплина очереди).

Обслуживающий блок предназначен для осуществления действий согласно требованиям поступающих в систему заявок.

Рис. 3.1 Схема системы массового обслуживания

Вторая составляющая систем массового обслуживания - входной поток заявок. Заявки поступают в систему случайным образом. Обычно предполагают, что входной поток подчиняется некоторому вероятностному закону для длительности интервалов между двумя последовательно поступающими заявками, причем закон распределения считается не изменяющимся в течение некоторого достаточно продолжительного времени. Источник заявок - неограничен.

Третья составляющая - дисциплина очереди . Эта характеристика описывает порядок обслуживания заявок, поступающих на вход системы. Поскольку обслуживающий блок, как правило, имеет ограниченную пропускную способность, а заявки поступают нерегулярно, то периодически создается очередь заявок в ожидании обслуживания, а иногда обслуживающая система простаивает в ожидании заявок.

Главная особенность процессов массового обслуживания – случайность. При этом имеются две взаимодействующие стороны: обслуживаемая и обслуживающая. Случайное поведение хотя бы одной из сторон приводит к случайному характеру протекания процесса обслуживания в целом. Источниками случайности взаимодействия этих двух сторон являются случайные события двух типов.

1. Появление заявки (требования) на обслуживание. Причиной случайности данного события часто является массовый характер потребности в обслуживании.

2. Окончание обслуживания очередной заявки. Причинами случайности этого события является как случайность начала обслуживания, так и случайная продолжительность самого обслуживания.

Указанные случайные события составляют систему двух потоков в СМО: входного потока заявок на обслуживание и выходного потока обслуженных заявок.

Результатом взаимодействия указанных потоков случайных событий является число находящихся в СМО заявок в данный момент, которое принято называть состоянием системы.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров ­ характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, от правил организации работы, ­ обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей успешно справляться с потоком заявок.

Специальная область прикладной математики ­ теория массового обслуживания (ТМО) – занимается анализом процессов в системах массового обслуживания. Предметом изучения теории массового обслуживания является СМО.

Цель теории массового обслуживания ­ выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО. Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от её организации.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном счете направлены на определение такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоя обслуживающего блока. Знание таких характеристик дает менеджеру информацию для выработки направленного воздействия на эти характеристики для управления эффективностью процессов массового обслуживания.

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО обычно выбираются три следующие основные группы (обычно средних) показателей:

Показатели эффективности использования СМО:

Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу заявок поступивших за это же время.

Средняя продолжительность периода занятости СМО.

Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течении которого СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.

Показатели качества обслуживания заявок:

Среднее время ожидания заявки в очереди.

Среднее время пребывания заявки в СМО.

Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

Закон распределения времени пребывания заявки в очереди.

Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

Среднее число заявок, пребывающих в очереди.

Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

Показатели эффективности функционирования пары «СМО − потребитель», где под «потребителем» понимают всю совокупность заявок или некий их

Рассмотренный в предыдущей лекции марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО).

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• расчетно-кассовые узлы в банках, на предприятиях;
• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
• станции технического обслуживания автомобилей; АЗС;
• аудиторские фирмы;
• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приёмкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
• телефонные станции и т. д.

	Узлы	Требования
Больница	Санитары	Пациенты
Производство
Аэропорт	Выходы на взлетно-посадочные полосы Пункты регистрации	Пассажиры

Рассмотрим схему работы СМО (рис. 1). Система состоит из генератора заявок, диспетчера и узла обслуживания, узла учета отказов (терминатора, уничтожителя заявок). Узел обслуживания в общем случае может иметь несколько каналов обслуживания.

Рис. 1

1. Генератор заявок – объект, порождающий заявки: улица, цех с установленными агрегатами. На вход поступает поток заявок (поток покупателей в магазин, поток сломавшихся агрегатов (машин, станков) на ремонт, поток посетителей в гардероб, поток машин на АЗС и т. д.).
2. Диспетчер – человек или устройство, которое знает, что делать с заявкой. Узел, регулирующий и направляющий заявки к каналам обслуживания. Диспетчер:

• принимает заявки;
• формирует очередь, если все каналы заняты;
• направляет их к каналам обслуживания, если есть свободные;
• дает заявкам отказ (по различным причинам);
• принимает информацию от узла обслуживания о свободных каналах;
• следит за временем работы системы.

1. Очередь – накопитель заявок. Очередь может отсутствовать.
2. Узел обслуживания состоит из конечного числа каналов обслуживания. Каждый канал имеет 3 состояния: свободен, занят, не работает. Если все каналы заняты, то можно придумать стратегию, кому передавать заявку.
3. Отказ от обслуживания наступает, если все каналы заняты (некоторые в том числе могут не работать).

Кроме этих основных элементов в СМО в некоторых источниках выделяются также следующие составляющие:

терминатор – уничтожитель трансактов;

склад – накопитель ресурсов и готовой продукции;

счет бухгалтерского учета – для выполнения операций типа «проводка»;

менеджер – распорядитель ресурсов;

Классификация СМО

Первое деление (по наличию очередей):

• СМО с отказами;
• СМО с очередью.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена . Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются следующие СМО:

• СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
• СМО с обслуживанием с приоритетом, т. е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т. д.

Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.

Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.

Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.

Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.

По количеству каналов СМО делятся на:

• одноканальные;
• многоканальные.

Характеристики системы массового обслуживания

Основными характеристиками системы массового обслуживания любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
• дисциплина очереди;
• механизм обслуживания.

Входной поток требований

Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (количество таких требований в каждом очередном поступлении ). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

А i – время поступления между требованиями – независимые одинаково распределенные случайные величины;

E(A) – среднее (МО) время поступления;

λ=1/E(A) – интенсивность поступления требований;

Характеристики входного потока:

1. Вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание.
2. Количество требований в каждом очередном поступлении для групповых потоков.

Дисциплина очереди

Очередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания.

Очередь имеет имя.

Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• первым пришел – первый обслуживаешься;

first in first out (FIFO)

самый распространенный тип очереди.

Какая структура данных подойдет для описания такой очереди? Массив плох (ограничен). Можно использовать структуру типа СПИСОК.

Список имеет начало и конец. Список состоит из записей. Запись – это ячейка списка. Заявка поступает в конец списка, а выбирается на обслуживание из начала списка. Запись состоит из характеристики заявки и ссылки (указатель, за кем стоит). Кроме этого, если очередь с ограничением на время ожидания, то еще должно быть указано предельное время ожидания.

Вы как программисты должны уметь делать списки двусторонние, односторонние.

Действия со списком:

• вставить в хвост;
• взять из начала;
• удалить из списка по истечении времени ожидания.
• пришел последним - обслуживаешься первым LIFO (обойма для патронов, тупик на железнодорожной станции, зашел в набитый вагон).

Структура, известная как СТЕК. Может быть описан структурой массив или список;

• случайный отбор заявок;
• отбор заявок по критерию приоритетности.

Каждая заявка характеризуется помимо прочего уровнем приоритета и при поступлении помещается не в хвост очереди, а в конец своей приоритетной группы. Диспетчер осуществляет сортировку по приоритету.

Характеристики очереди

• ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»);
• длина очереди.

Механизм обслуживания

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся:

• количество каналов обслуживания (N );
• продолжительность процедуры обслуживания (вероятностное распределение времени обслуживания требований);
• количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры (для групповых заявок);
• вероятность выхода из строя обслуживающего канала;
• структура обслуживающей системы.

Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

S i – время обслуживания i -го требования;

E(S) – среднее время обслуживания;

μ=1/E(S) – скорость обслуживания требований.

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода из строя обслуживающего канала по истечении некоторого ограниченного интервала времени. Эту характеристику можно моделировать как поток отказов, поступающий в СМО и имеющий приоритет перед всеми другими заявками.

Коэффициент использования СМО

N ·μ – скорость обслуживания в системе, когда заняты все устройства обслуживания.

ρ=λ/(N μ) – называется коэффициентом использования СМО , показывает, насколько задействованы ресурсы системы.

Структура обслуживающей системы

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживани .

Пример. Кассы в магазине.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно . Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Пример. Медицинская комиссия.

Комбинированное обслуживание – обслуживание вкладов в сберкассе: сначала контролер, потом кассир. Как правило, 2 контролера на одного кассира.

Итак, функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами :

• вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• мощностью источника требований;
• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• дисциплиной очереди.

Основные критерии эффективности функционирования СМО

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки (Р обсл =К обс /К пост);
• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки (P отк =К отк /К пост);

Очевидно, что Р обсл + P отк =1.

Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека–Хинчина

Задержка – один из критериев обслуживания СМО, время проведенное заявкой в ожидании обслуживания.

D i – задержка в очереди требования i ;

W i =D i +S i – время нахождения в системе требования i .

(с вероятностью 1) – установившаяся средняя задержка требования в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее время нахождения требования в СМО (waiting).

Q(t) – число требований в очереди в момент времени t;

L(t) – число требований в системе в момент времени t (Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t.

Тогда показатели (если существуют)

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в системе.

Заметим, что ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q и L в системе массового обслуживания.

Если вспомнить, что ρ= λ/(N μ), то видно, что если интенсивность поступления заявок больше, чем N μ, то ρ>1 и естественно, что система не сможет справиться с таким потоком заявок, а следовательно, нельзя говорить о величинах d, w, Q и L.

К наиболее общим и нужным результатам для систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения

Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/N (N >1), т. е. систем с Марковскими потоками заявок и обслуживания. Для М/G/ l при любом распределении G и для некоторых других систем. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным (или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-го порядка), чтобы аналитическое решение стало возможным.

Кроме этого можно также говорить о таких характеристиках, как:

• абсолютная пропускная способность системы – А=Р обсл *λ;
• относительная пропускная способность системы –

Еще один интересный (и наглядный) пример аналитического решения – вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/ 1 по формуле:

.

В России эта формула известна как формула Поллачека– Хинчина, за рубежом эта формула связывается с именем Росса (Ross).

Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d ) будет большей; чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), т. е. единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса , происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские . В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Допущения о пуассоновском характере потока заявок и о показательном распределении времени обслуживания позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат марковских. Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским (или процессом без последействия), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий моменти не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Рассмотрим СМО с конечным дискретным множеством состояний (рис. 2.). Определим состояние как состояние СМО, соответствующее наличию в данный моментзанятых каналов. При этом система может изменять свое состояниедискретно в соответствующие дискретные моменты времени. При поступлении на вход СМО одной заявки система изменяет свое состояние сна,

а при уходе одной заявки из системы и соответствующем освобождении одного канала - с на.

Рис. 2. Диаграмма состояний и переходов СМО

Типичным примером СМО является телекоммуникационная система с несколькими обслуживающими серверами. Заявка, поступающая на вход такой СМО, может быть либо обслужена, либо поставлена в очередь, либо получить отказ в обслуживании. В связи с этим СМО делятся на два основных типа: а) СМО с отказами; б) СМО с ожиданием.

В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

В системах с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-нибудь канал.

Классификационные признаки систем массового обслуживания.

В системах массового обслуживания различают три основных эта­па, которые проходит каждая заявка:

1) появление заявки на входе в систему;

2) прохождение очереди;

3) процесс обслуживания, после которого заявка покидает систему.

На каждом этапе используются определенные характеристики, которые следует обсудить прежде, чем строить математические модели.

Характеристики входа:

1) число заявок на входе (размер популяции);

2) режим поступления заявок в систему обслуживания;

3) поведение клиентов.

Число заявок на входе. Число потенциально возможных заявок (размер популяции) может считаться либо бесконечным (неогра­ниченная популяция), либо конечным (ограниченная популяция). Если число заявок, поступивших на вход системы с момента на­чала процесса обслуживания до любого заданного момента вре­мени, является лишь малой частью потенциально возможного числа клиентов, популяция на входе рассматривается как Неогра­ниченная. Примеры неограниченных популяций: автомобили, проходящие через пропускные пункты на скоростных дорогах, покупатели в супермаркете и т. п. В большинстве моделей очередей на входе рассматриваются именно неограниченные популяции.

Если количество заявок, которые могут поступить в систему, сравнимо с числом заявок, уже находящихся в системе массо­вого обслуживания, популяция считается Ограниченной. Пример ограниченной популяции: компьютеры, принадлежащие конкрет­ной организации и поступающие на обслуживание в ремонтную мастерскую.

Режим поступления заявок, в систему обслуживания. Заявки могут поступать в систему обслуживания в соответствии с опреде­ленным графиком (например, один пациент на прием к стомато­логу каждые 15 мин, один автомобиль на конвейере каждые 20 мин) или случайным образом. Появления клиентов считаются Случай­ными, если они независимы друг от друга и точно непредсказу­емы. Часто в задачах массового обслуживания число появлений в единицу времени может быть оценено с помощью пуассоновского распределения вероятностей. При заданном темпе поступления (например, два клиента в час или четыре грузовика в минуту)

дискретное распределение Пуассона описывается следующей фор­мулой:

Где Р (х) - вероятность поступления Х заявок в единицу вре­мени;

Х - число заявок в единицу времени;

L - среднее число заявок в единицу времени (темп по­ступления заявок);

Е = 2,7182 - основание натурального логарифма.

Соответствующие значения вероятностей Р(х) нетрудно опре­делить с помощью таблицы пуассоновского распределения. Если, например, средний темп поступления заявок - два клиента в час, то вероятность того, что в течение часа в систему не поступит ни одной заявки, равна 0,135, вероятность появления одной заявки - около 0,27, двух - также около 0,27, три заявки могут появиться с вероятностью 0,18, четыре - с вероятностью около 0,09 и т. д. Вероятность того, что за час в систему поступят 9 заявок или бо­лее, близка нулю.

На практике вероятности появления заявок, разумеется, не всегда подчиняются пуассоновскому распределению (они могут иметь какое-то другое распределение). Поэтому требуется прово­дить предварительные исследования для того, чтобы проверить, что пуассоновское распределение может служить хорошей аппрок­симацией.

Поведение клиентов. Большинство моделей очередей основы­вается на предположении, что поведение клиентов является стан­дартным, т. е. каждая поступающая в систему заявка встает в оче­редь, дожидается обслуживания и не покидает систему до тех пор, пока ее не обслужат. Другими словами, клиент (человек или ма­шина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока он не будет обслужен, не покидает очередь и не переходит из одной очереди в другую.

Жизнь значительно сложнее. На практике клиенты могут по­кинуть очередь

потому, что она оказалась слишком длинной. Может возникнуть и другая ситуация: клиенты дожидаются сво­ей очереди, но по каким-то причинам уходят необслуженными. Эти случаи также являются предметом теории массового обслу­живания.

Характеристики очереди:

2) правило обслуживания.

Длина очереди. Длина может быть ограничена либо не ограни­чена. Длина очереди (очередь) Ограничена, если она по каким-либо причинам (например, из-за физических ограничений) не может увеличиваться до бесконечности. Если очередь достигает своего максимального размера, то следующая заявка в систему не допускается и происходит отказ. Длина очереди не ограничена, Если в очереди может находиться любое число заявок. Например, очередь автомобилей на бензозаправке.

Правило обслуживания. Большинство реальных систем исполь­зует правило «первым пришел - первым ушел» (FIFO - first in, first out). В некоторых случаях, например в приемном покое боль­ницы, в дополнение к этому правилу могут устанавливаться раз­личные приоритеты. Пациент с инфарктом в критическом со­стоянии, по-видимому, будет иметь приоритет в обслуживании по сравнению с пациентом, сломавшим палец. Порядок запуска компьютерных программ - другой пример установления приорите­тов в обслуживании.